图像的分辨率一直是衡量图像质量好坏的一个重要标准。图像的分辨率越高，反映的细节越丰富，提供的信息也越多，因此获取高分辨率图像一直是人们追求的目标。然而通过提高采集设备传感器的密度的方法提高图像分辨率，成本高，难度高，技术也已接近饱和。因此，通过获得的低分辨率图像重建出高分辨率图像的重建技术是提高图像分辨率的一种行之有效的方法。由于超分辨率重建技术不涉及硬件，成本低，因此该技术在军事、医疗、工业、公安、交通与民用等领域都存在着广阔的应用前景。首先，本文宏观地介绍了多种超分辨率重建方法，并对各种算法的优缺点进行了详细地阐述和分析。深入介绍了传统插值方法、小波方法、变分和偏微分方程（PDE）的相关理论知识及其在图像超分辨率重构中的应用。其次，本文从偏微分方程扩散后处理图像放大模型出发，介绍了几种常见的扩散模型，并对其优缺点进行了分析。同时，提出一种极小曲面的泛函模型。为了实现图像在放大过程中可以同时兼顾平坦区域和边缘区域的重建效果，本文提出一种基于极小曲面的四阶偏微分方程扩散模型。通过与其它偏微分方程扩散模型进行比较，表明本文算法既可以发挥各向异性扩散模型的优点，保护图像的边缘，同时将极小曲面引入构造控制函数可以获得很好的平坦区域重建效果。最后，本文从另一个角度对变分和偏微分方程进行分析，并结合小波算法，提出了一种基于小波和改进的PDE插值相结合的图像超分辨率重构算法。针对传统的PDE插值算法无法精确区分图像的平坦区域和边缘区域，而导致出现虚假边缘的不足，本文提出一种数据加权拟合的PDE插值算法，对图像边缘实现较好的定位。然后针对传统的小波重建算法的缺点，本文将原始图像幅值增加2倍作为重建的低频分量，并对小波分解获得的高频成分调整系数，最后进行小波逆变换获得高质量的重建图像。实验结果表明：本文所提算法充分结合了两种算法的优点，即能较好的保持图像细节边缘特征又能避免图像亮度变暗等现象，主观视觉效果以及客观实验数据都优于传统的超分辨率重建方法。