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复双曲几何与黎曼几何、接触几何、李群理论、调和分析以及代数几何等有着紧密的联系，是复分析领域的一个重要研究对象.复双曲几何理论的研究开始于十九世纪末.尽管它与实双曲几何理论几乎一起产生，但由于复双曲空间上丰富的结构，使得它比实双曲几何理论的发展缓慢的多.直到Chen和Greenberg首先研究了秩为1的对称空间，以及Mostow构造了作用在复双曲空间上的非算术格后，越来越多的学者开始对复双曲几何理论进行研究.Epstein，Toledo，Goldman，Schwartz，Parker，Falbel和Zocca，Deraux等做了大量的工作.他们推动了该领域的发展，并且激发了更多年轻学者的研究兴趣。 本文的主要目的是讨论复双曲平面上等距子群离散的必要条件，二元生成子群离散的充分条件和复双曲平面中等距元素的C-分解性. 在第一章中，我们首先对复双曲几何的发展历史和研究现状做了简单的综述.然后介绍了本文的主要内容和创新点.最后给出了在全文中经常用到的一些记号说明. 第二章、我们回顾了复双曲几何的基础知识.我们首先介绍了二维复双曲空间常用的两个模型及Cygan度量，其中Cygan球的凸性在第三章离散准则的证明中起了重要的作用.然后，我们介绍了复双曲平面的四种不同的全测地子空间:点，测地线，复线与R-平面.最后，我们给出了拓扑群与离散群的定义，并且对复双曲等距变换进行了详细的分类. 复双曲空间上等距子群离散性问题一直以来深受广大学者重视.在第三章中，我们主要研究了PU(2，1)（即复双曲平面的全纯等距群）中包含螺旋抛物元素的子群离散的必要条件，也就是Shimizu引理的推广.首先我们回顾了螺旋抛物元素的基本性质.然后利用Margulis区域的几何知识构造边界函数Bg(r).接下来，运用连分式相关理论给出了边界函数Bg(r)的一致上界，从而得到在子群Γ∞作用下精确不变的区域.最后根据Margulis区域的性质和Cygan球的凸性证明了本章的离散准则. 复双曲空间上等距子群离散性问题与三角群联系密切.三角群是由三个对合元素生成的群.复双曲空间上的等距变换中有三种对合元素，一种是关于复线的2阶复反射，简称复对称;一种是关于复双曲空间中点的2阶复反射;另一种是关于R-平面的2阶反射，简称拉格朗日反射.在第四章中，我们研究了PU(2，1)中一个抛物元素和一个椭圆元素分别可以分解成两个复对称乘积的条件，即等距元素的C-强可逆性.接着我们引入C-分解性，我们称一对等距元素(A，B)具有C-分解的性质，也就是A=I1I2,B=I2I3，其中I1,I2,I3都是复对称.最后，我们分别给出了一对抛物元素和一对椭圆元素可以C-分解的条件.此外，我们也得到了一个斜驶元素和一个抛物元素具有C一分解性的条件. 第五章中，我们主要研究了PU(2，1)中二元生成子群离散的充分条件，其中我们要求这两个生成子可以C-分解.并且我们把这个结果推广到多元生成子群.利用两个生成子的C-分解性，我们把研究二元生成子群的离散性问题转化为判断相对应的三角群的离散性.然后我们介绍了等分面(bisector)的相关概念，定义了NSD/TB群，再结合Klein组合定理，由此得到本章的离散判别准则.最后我们举例说明了此离散判别准则的可行性.