微分形式理论在数学以及工程技术学的各个领域中都有着广泛的应用。作为函数的推广，微分形式空间的研究工作进展迅速。与此同时，微分形式的A-调和方程作为函数的A-调和方程的推广，其解性质的研究更是吸引了众多数学工作者。近十几年来，随着自然科学及工程技术学中许多具有变指数增长性条件的非线性问题的不断出现，这样以往的常指数微分形式空间表现出了其应用的局限性，所以像常指数函数空间被推广为变指数函数空间一样，将常指数微分形式空间推广为变指数微分形式空间具有重大意义。本文中，一方面将变指数函数空间的一些研究工作推广到变指数微分形式空间，在对变指数微分形式空间性质作了详细地讨论之后，利用经典的变分理论证明了几类非线性系统弱解的存在性和唯一性；另一方面将欧氏空间上变指数函数空间理论推广到完备黎曼流形上，并考虑了完备黎曼流形的有界区域上p（m）-调和方程弱解的存在性和唯一性。本文的主要研究工作如下：首先，引入了变指数微分形式Lebesgue空间L^p（x）（, Λ^k）和外Sobolev空间W^1,p（x）（, Λ^k），并结合变指数函数空间上Caldero′n-Zygmund算子性质，推广了常指数微分形式Lebesgue空间上同伦算子T的性质到变指数微分形式Lebesgue空间。进而，讨论了与外Sobolev空间W^1,p（x）（, Λ^k）相关的变指数微分形式空间κ^1,p（x）（, Λ^k）的性质。然后采用对区域分割的方法解决了一类非线性系统弱解的存在性。其次，引入了加权变指数微分形式Lebesgue空间L^p（x）（, Λ^k, ω）和加权外Sobolev空间W^1,p（x）（, Λ^k, ω）.在讨论了空间性质之后，解决了一类障碍问题解的存在性和唯一性。进而，得到了一类具有变增长性条件的非齐次A-调和方程Dirichlet问题弱解的存在性和唯一性。最后，引入了完备黎曼流形上变指数微分形式Lebesgue空间L^p（m）（Λ^kM）和外Sobolev空间W^1,p（m）（Λ^kM），应用实分析中Vitali收敛定理、Lebesgue控制收敛定理以及Luzin定理等详细的讨论了空间的完备性、可分性、自反性以及绝对收敛性等重要性质。与此同时，也建立了当变指数p（m）,q（m）满足一定条件时，W^1,p（m）（Λ^kM）到L^q（m）（Λ^kM）的紧嵌入定理。然后解决了完备黎曼流形的有界区域上非齐次p（m）-调和方程Dirichlet问题弱解的存在性和唯一性。特别地，将欧氏空间上变指数函数空间理论推广到了黎曼流形上。