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本文利用示性类及微分几何的方法，用联络论讨论定向Grassmann流形G(2，N)及G(4，8)的同调群，其他的低维Grassmann流形可以类似讨论．本文证明了G(2，2n+2)的上同调可以用它上面的典范矢丛E(2，2n+2)和法丛F(2，2n+2)的Euler类生成，同时给出了它的下同调的生成元．而G(2，2n+3)的上同调由典范矢丛E(2，2n+3)的Euler类生成．还证明了Grassmann流形G(4，8)的上同调可以用典范矢丛E(4，8)和法丛F(4，8)的Euler类及E(4，8)的第一个Pontryagin类生成．