延迟常微分方程是一类基本的数学模型,还可由时滞偏微分方程经空间离散后得到,其右端函数经常可以分裂为两部分,一部分包含有刚性,另一部分没有刚性。为兼顾稳定性和计算效率的要求,可考虑采用隐显方法求解,即用隐式方法离散其中的刚性部分,用显式方法离散其中的非刚性部分,可明显减少计算量。本文研究了四个问题:求解非线性刚性初值问题的隐显单支方法的误差分析、求解刚性延迟微分方程的隐显单支方法的稳定性与误差分析、求解捕食者-食饵时滞扩散模型的隐显多步有限元方法的误差分析以及一类带分布时滞的反应扩散方程精确解和数值解的稳定性分析。数值结果显示我们提出的隐显单支方法非常有效,特别对于半线性刚性（延迟）微分方程,不需要求解非线性代数方程组。首先,针对满足单边Lipschitz条件的非线性刚性初值问题及一类奇异摄动初值问题,提出了由隐式单支方法组合显式单支方法而成的隐显单支方法,给出了此方法的阶条件,构造了有效的具体算法,并获得了相应的误差分析结果。进一步地,将隐显单支方法用于求解刚性延迟微分方程,克服解的导数具有间断性所导致的困难,我们证明了隐显单支方法关于初值扰动是稳定的且2阶收敛的。接着,我们考虑了两类隐显多步有限元方法求解捕食者-食饵时滞扩散模型,即在空间上采用有限元方法离散,而时间上分别采用隐显单支方法和隐显线性多步方法离散。克服解的时间偏导数具有间断性所导致的困难,得到了方法的收敛性结果O(?t²+h^r+1)。最后,研究了一类带分布时滞的反应扩散方程的精确解和数值解的稳定性,获得了精确解的散逸性和关于初值扰动的渐近稳定性结果,并证明了用单支θ-方法求解此方程所得的数值解保持了原问题的散逸性和关于初值扰动的渐近稳定性。