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在解析数论中，研究等分布理论，L-函数的零点分布等问题，自然会涉及到非线性指数函数的振荡问题．我们通常考虑一般的非线性指数和，其形如S(X,α)=∑n～Xane(αnβ),0≠α∈R,0≤β≤1. 这里，n～X表示X≤n≤2X，且e(z)=e2πiz.当β=1/2,Vinogradov[12]研究了关于vonMangoldt函数an=Λ(n)的非线性指数和S(X，α)的振荡问题．对于an=Λ(n)和an=μ（n）（μ为莫比乌斯函数）的情形已经被Iwaniec，Luo和Sarnak[3]所研究，他们发现这些指数和与GL2上的L-函数密切相关，假设f是上半平面权为偶数的全纯尖形式，他们也证明了S(X，α)的一个更好的上界，这意味着对于L(s，f)[3]的拟黎曼猜想成立．Ren和Ye[7]研究了当β是变量，an是自同构形式的傅里叶系数的情形，并得到以下结论： 令0＜β＜1,0≠α≠R. (i)对于β≠1/2和所有α≠0，我们有∑X＜n≤2Xλf(n)e(αnβ)＜＜｜2β-1｜-1/2（｜α｜βXβ）1+ε+X1/2+ε(｜α｜βXβ)-1/4. (ii)对于｜α｜≤1或者｜α｜≥X1/2，我们有∑X＜n≤2Xλf(n)e(α√n)＜＜（｜α｜√X）1/2+ε+X1/2+ε(｜α｜√X)-1/4. (iii)对于1＜｜α｜＜X1/2，如果存在一个正整数q满足｜｜α｜-2√q｜＜X-1/2（q是唯一的)，那么∑X＜n≤2Xλf(n)e(α√n)=（c）0λf（q）q-1/4X3/4+O(（｜α｜√X）1/2+ε+X1/2(｜α｜√X)-1/4),其中，（c）0=-sgn（α）c0∫√21t1/2+φ(t2)e(sgn(α)(｜α｜X-1/2-2√n0X)t)dt. 如果不存在这样一个q，那么上式在没有前导项的情况下成立． (iv)具体来说，如果α=±2√q，其中，q是大于等于1小于X/4的整数，那么上式变成∑X＜n≤2Xλf(n)e(±2√qn)=（c）0λf（q）q-1/4X3/4+O(（qX)1/4+ε+X3/8+εq-1/8),其中，(c)0可以写成（c）0=±(-1)k+12/3(23/4-1)(1+i). 对于素数阶pk，Liouville函数λ（n）=∑d2/nμ(n/d2),λ(pk)=(-1)k.在本文中，我们考虑非线性指数和S(X,α)=∑n～Xλ(n)e(αnβ).(1.1) Murty和Sankaranarayanan[4]指出猜想，对于θ＜1，∑n≤Xλ(n)=O(Xθ). 它包含了拟黎曼猜想．黎曼猜想跟上述估计对于θ＞1/2成立是等价的．Iwaniec，Luo和Sarnak[3]还考虑了非线性指数和Sq(X)=∑nane(-2q1/2nβ)φ(n/X), 其中，对于任意ε＞0，有an＜＜nε，这里的φ在R+上是紧的稳定的光滑函数．在一定条件下，Iwaniec，Luo和Sarnak[3]建立Sq(X)＜＜q1/4X3/4+ε.(1.2) 对于β=1/2，Sun[9]无条件的建立了S(X，α)=∑n～Xλ(n)e(αnβ)的一个上界．在Sankaranarayanan[8]中，Sankaranarayanan给出了一个上界并且得到∑n～Xλ(n)e(αn1/2)＜＜X3/4(logX)7/2(1+｜α｜)1/2+X1/2(logX)7/2(1+1/｜α｜)1/2+X1/2+ε(｜α｜+/1｜α｜).(1.3) 本文的主要目的是考虑β是变量的情况，并推广Sankaranarayanan[8]和Sun[9]中的结果．本文的主要结果是以下两个定理． 定理1.1.令λ(n)是Liouville函数．对于任意0≠α∈R和0＜β≤1，对于任意ε＞0，我们有∑n～Xλ(n)e(αnβ)＜＜β5/2X1+β/2log7/2X√1+｜α｜β+Xβ+ε（｜α｜β+1/｜α｜β)+β5/2√Xlog7/2X(1+1/｜α｜β)1/2+｜α｜1/2β3/2X1-β/2log3X+β/｜α｜X1-βlog4X+βX-1βlog3X, 其中包含的常数只依赖于ε． 注1．为了证明定理1.1，我们将应用Sankaranarayanan[8]和Sun[9]的方法．我们主要使用的技术是Vaughan恒等式和Perron公式．由于β是变量，为了计算出β的依赖性，我们必须小心处理分母上有β的项，尤其是误差项，另外，我们必须在某些地方选择新的参数以确保该方法可行．当β=1/2时，我们的结果与Sankaranarayanan[8]一致，并且改进了Sun[9]的结果， 定理1.2.令μ（n）是莫比乌斯函数．对于任意0≠α∈R和0＜β≤1，对于任意ε＞0，我们有∑n～Xμ(n)e(αnβ)＜＜β5/2X1+β/2log7/2X√1+｜α｜β+Xβ+ε（｜α｜β+1/｜α｜β)+β5/2√Xlog7/2X(1+1/｜α｜β)1/2+｜α｜1/2β3/2X1-β/2log3X+β/｜α｜X1-βlog4X+βX-1βlog3X,(1.4)其中包含的常数只依赖于ε 注2．当β=1/2时，我们得到非线性指数和的上界估计是｜α｜1/2X3/4.对于任意的正整数q，我们取α=-2√q,an=λ(n)或者μ(n)，这跟(1.2)式是一致的．当X的指数是1/2+ε时．该结果是迄今为止最好的结果.