k幂等矩阵线性组合的保持问题是一个经久不衰的课题，它在科学与技术中有着广泛而又深刻的应用。统计学中的许多问题都可以归结为幂等矩阵的线性组合的保持问题，它在算子理论、抽象代数、物理学等领域都有相当广泛的应用。本文在前人研究成果的基础上给出了几个有意义的新成果。首先，利用“两个相乘可换的可对角化矩阵可同时相似对角化”的理论，对一般的k，给出了在矩阵相乘可换的条件下，矩阵的线性组合保k-幂等的一系列充要条件，并且可以确定，理论上，所有关于矩阵线性组合保k-幂等的问题均可以解决。但在某些实际研究中常需要将“矩阵相乘可换”这一约束条件去掉或者用一个更弱的条件去替代它，此时给出了在去掉此条件时，幂等矩阵的线性组合保三幂等的充要条件。其次，给出了任意k-幂等矩阵的一种正交幂等分解的具体表示形式，这一点很类似于矩阵的谱分解理论；之后利用此正交幂等分解定理，给出了几类特殊的k-幂等矩阵可以写成两个三幂等矩阵的具体形式。最后，对任意的k和l，探讨了两个k幂等矩阵的线性组合保l-幂等的必要条件，并且不加证明地给出了矩阵线性组合保幂等的一个必要条件。此外在矩阵相乘可换的条件下，给出了一个幂等矩阵与(k+1)幂等矩阵的线性组合为对合矩阵的充要条件。