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量子计算的进展攻破了几类典型的基于交换代数结构的密码学难题假设。为了抵抗己知量子算法攻击,基于非交换代数结构的密码学登上了现代密码学的舞台。随着非交换密码学的迅速发展,基于非交换群分解难题假设(Group Factorization Problem, GFP)的密码系统一MST(Magliveras S S, Stinson D R, van Trung T)密码系统逐渐成为非交换密码学中的一个典型代表并在最近三十年取得了很大进步。然而到目前为止,MST密码系统的方案还不够丰富,已有的方案设计主要集中在加密方案的设计上,而对于签名、签密、代理等密码原语的支撑还不够。因此,基于密码原语的新方案的设计有着实际的应用价值。与此同时,作为一种特殊的有限群分解技术,对数签名(Logarithmic Signature)已经作为密钥广泛地应用于MST密码系统当中。极小对数签名(Minimal Logarithmic Signature)是一种具有最短长度的密钥,其具有分块尺寸最小,空间复杂度最低等优势,从而在密码方案的构造中具有明显优势。然而到目前为止,有限单群极小对数签名的存在性问题始终没有得到解决。因此,为MST密码系统寻找更丰富的极短长度密钥也是一个非常有意义的研究方向。本论文主要研究非交换密码学中的典型代表—MST密码系统的两个核心问题,并取得了以下创新性研究成果：(1)对已有的MST密码系统进行改进,设计了一个新的基于非交换群分解难题假设(Group Factorization Problem, GFP)的加密方案。与原方案相比,新方案具有更高的效率。在此基础上,设计了第一个基于MST密码系统的数字签名方案。签名方案具有很强的安全性和很高的效率。(2)根据有限单群的分类定理,利用有限群论、代数群论、射影几何等学科的相关理论给出了剩余四种单群极小对数签名的结构,最终从理论上完成MLS猜想的证明,为MST密码系统提供了广阔的应用平台。具体成果如下：(a)利用正交群On(q)和特殊正交群SOn(q)一维迷向子空间的稳定化子与其抛物子群的对应关系,结合展形的基本理论,给出了一类经典单群PΩn(q)极小对数签名的构造。(b)利用酉群Un(g)和特殊酉群SUn(q)-一维迷向子空间的稳定化子与其抛物子群的对应关系,结合射影几何和代数群论的基本理论,给出了一类经典单群一射影特殊酉群PSUn(q)极小对数签名的构造。(c)利用特殊李型群一维迷向子空间的稳定化子和相应代数系统(八元数代数、艾伯特代数、李代数)的线性变换构造了所有十类特殊李型群的极小对数签名。(d)利用相应零散群的稳定化子和群作用理论,再结合Sylow定理构造了剩余十三类零散群的极小对数签名。