B．Buchberger在域上的多项式环的单项式的集合中引入项序，并利用S-多项式，给出了一种算法，使得对多项式环中的任意给定的理想，从它的一组生成元，可计算得到一组被称为简化Gr(?)bner基的生成元，它具有“唯一性”的良好性质。所以利用Gr(?)bner基可以解决与理想相关的许多问题。此后，Gr(?)bner基的应用研究得到了迅速发展。Gr(?)bner基的应用研究包括代数方程组求解，多项式的因子分解，素理想的检验，代数流形的分解，纠错码中循环码和代数几何码的译码，密码学中高维线性递归阵列的分析与综合，多维系统理论，信号处理和求解整数规划等诸多领域。 Morita对偶理论起源于数域上的向量空间的对偶空间理论。许多代数学家均从事Morita对偶理论的研究。他们研究环扩张，Noether环，序列环，自同态环等的对偶性及自对偶。上个世纪九十年代，C．Menini和A．D．Rio在分次环中引入分次Morita对偶的概念，得到了与Morita对偶相类似的刻划。 本文研究了Gr(?)bner基理论在求矩阵极小多项式，判定矩阵可逆性和求逆矩阵等方面的应用，并讨论了多项式环的分次自对偶问题。具体内容如下： ·证明了域上的所有块循环矩阵组成的环同构于其上的多元多项式环的一个商环。因此，将求域上块循环矩阵的极小多项式转化为求一个环同态的核的简化Gr(?)bner基，从而给出了求块循环矩阵的极小多项式的算法。 ·给出了域上的块循环矩阵可逆性的充要条件及其逆矩阵的算法。 ·给出了四元素可除代数上的块循环矩阵可逆性的充要条件及其逆矩阵的两种算法。 ·给出了准确计算域上有限群的群代数上的多项式环的理想的Gr(?)bner基的算法。 ·定义了整代数线性规划，并给出了求解它的算法。 ·给出了求域上有限群的群代数上的块循环矩阵的极小多项式的算法，西安电子科技大学博士学位论文:多项式代数及其应用 奇异性判别法及其逆矩阵的求法.·给出了域上有限群的群代数上的块对称循环矩阵的奇异性判别法及其 逆矩阵求法.，定义了域上有限群的群代数上的混合块矩阵，并给出了它的可逆性的 判别法及其逆矩阵的求法.·定义了环的分次三角扩张和分次平凡扩张，并讨论了他们有分次Morita 对偶与其初始子环有Morita对偶之间的关系.·讨论了余生成子环上的多元多项式环作为不同群的分次环的分次自对 偶问题，并证明了有自对偶的环的一种特殊的分次三角扩张有分次自 对偶.