随着科技的发展与生产建设的工程需要,越来越多的非线性力学问题出现在实际工程中,尤其在基础建设、航天航空领域中。许多结构在面对大载荷、高压的条件下出现了大位移和大变形,呈现出一系列非线性现象。另一方面,随着社会建设的需要以及材料学科的发展,越来越多的新型材料被应用在医疗、航天、机械等领域,而很多材料的力学性质呈现出物理非线性,如果按照线性理论去进行理论设计、仿真,将会遇到巨大的困难。实际上,这些问题只有采用非线性连续介质力学的观点和方法才能进行合理的分析,才能得到有效的解决。对于非线性固体力学问题,只有很少一部分能得到其解析解,利用高效的数值方法去求解其数值解已经变成解决工程问题的重要途径。在本文中,作者采用近年来提出的高效数值方法光滑有限元(Smoothed Finite Element Methods,S-FEM)来解决三维非线性固体力学问题,并建立了光滑有限元求解三维非线性力学问题的通用求解器。光滑有限元结合了有限元的健壮性与无网格方法的高效性。而且在线弹性固体力学问题中,已经得到了很多优秀的性质,如可以得到某种范数下应变能上下界。本文主要是采用光滑有限元方法解决三维非线性固体问题,并验证光滑有限元在非线性问题中能否得到应变能的上下界。为了保证结论的有效性,文章不仅研究在大载荷的情况下结构的几何大变形,而且使用了典型的非线性超弹性材料,并且使用了两种超弹性模型——Mooney-Rivlin和Ogden模型。其中Mooney-Rivlin是以应变不变量表示的本构方程,Ogden是以主伸长率表示的本构方程。通过大量的数值算例,作者发现:采用自动生成的四面体单元的基于节点的光滑有限元(NS-FEM-Te4)和基于面的光滑有限元(FS-FEM-Te4)的S-FEM方法能够得到非线性固体力学问题的应变能的上下界解。使用FEM-Te4和FS-FEM-Te4可以获得下限解,使用NS-FEM-Te4可以获得上限解。因此,作者将这两种方法结合实现了αS-FEM-Te4,通过调整比例因子α,而比例因子α的连续变化可以使模型从“过硬”变为“过软”。在这个过程中找到非线性固体力学问题的“超精确”近似解。此外,将材料的本构方程分成两个部分,考虑到NS-FEM和FS-FEM的应变能的上下界性质,用FS-FEM和NS-FEM分别处理不同的本构方程的部分,从而Selective FS/NS-FEM-TE4被用来求解三维非线性大变形问题,从而产生更接近精确应变能的下界。