本文讨论比例延迟微分方程和一类带弱奇异核偏积分微分方程谱配点法的长时间估计。比例延迟微分方程(DDEs),也称为泛函微分方程,来源于许多现实生活当中的应用。例如,生物、医疗、控制理论、气候模型、人口动力学、电子网络等等许多其他应用。在这些实际问题中,延迟微分方程经常被用来构成基本的数学模型。比例延迟微分方程中延迟项的出现,表明该问题具有记忆性质。由于方程的光滑已知条件导致了解在区间J上全局光滑,这一事实启发了我们利用谱方法来数值求解带消失延迟DDEs。本文先是采用Legendre-Gauss-Lobatto配点法与区间剖分相结合的方式设计算法求解带消失比例延迟qt(0<q<1)微分方程,在数值计算中取得了谱精度解；然后又用基于Legendre-Gauss点的谱配置法结合区间剖分,设计了一个求未知函数在节点处函数值的算法,也取得了谱精度解,并且证明了解的存在唯一性,作出了长时间误差估计。从理论上证明了:只要pantograph-型延迟微分方程中的已知函数足够光滑,我们就能取得全局收敛的解,而且解还具有谱精度。对于一类带弱奇异核偏积分微分方程,多出现在记忆材料的热传导、多孔粘弹性介质的压缩、动态人口、原子反应动力学等问题中。对于该方程的数值求解,已经存在于大量的参考文献中,他们大多采用有限元方法、样条配置方法、有限差分方法,而且时间离散误差界只是在有限时间区间上有界而且是逐点的。本文先是在空间方向利用Legendre-Galerkin谱方法进行离散,得到了空间半离散的全局稳定性和误差估计证明,然后又利用Legendre谱配点法进行空间离散,再次得到了空间半离散的全局稳定性和误差估计证明,最后在这个基础上,时间方向采用向后欧拉公式结合一阶卷积求积,得到了时空全离散格式,并且得到了数值解的全局稳定性和误差估计,数值实验与理论分析吻合。这些结果似乎是第一个成功的应用谱方法(带有理论证明)到带弱奇异核偏积分微分方程上而取得的。