六十年代诞生了一门新的数学分支学科—凸分析，它以凸集和凸函数为基本研究对象。凸性理论现已成为数学规划、变分学、最优化理论等学科的重要理论基础和有用工具。为了进一步满足解决实际问题的需要，人们对凸性概念作了多种形式的推广，但在这过程中，凸分析理论始终发挥着不可或缺的作用。因此，研究凸性及其在最优化理论中的应用仍然是一件十分有意义的事情。基于上述原因，本文通过研究集合的凸性及运算性质，从新的侧面研讨函数的属性及运算，并通过研究上图象达到形象直观地刻画函数的目的。第一章，综述了凸分析理论的研究意义和研究现状。第二章，在已有凸分析理论的基础上讨论了集合的一些新的属性，并讨论了集合的凸包、仿射包、闭包、内部、相对内部等运算的一些性质；将凸分析中R~n空间里成立的一些结论推广到线性拓扑空间中去；讨论了使“int A+B=int(A+B)”成立的新条件，并将内部的相关结论推广到相对内部，得出了使“ri(A+B)(?)riA+B”成立的若干条件。第三章，为了将集合的相关结论应用到函数中去，着重讨论了函数的上图象及其性质，并得出了函数可以由其上图象完全刻画的重要结论：即f(x)=inf{μ|(x，μ)∈epif}，从而定义了新的函数运算---函数的内部与相对内部运算；接着讨论了函数的凸包、右乘、内部、相对内部运算的一些性质；最后，借助函数与上图象的密切关系，将集合的运算性质充分应用到函数的运算里。第四章，对全文作了一个总结，并提出了一些有待研究的问题。第二，三章为本文的主要内容，创新之处主要集中在第二章的5，6，7节和第三章。