【摘 要】
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Box样条及Birkhoff插值问题在数值分析、逼近论等学科中有着广泛的应用.Box样条和多元截断幂分别作为B样条函数和一元截断幂的高维推广,与剖分函数有着重要联系,二者在离散几何、组合数学等多个数学领域有重要的意义Birkhoff插值是一类满足非逐个导数值条件的插值问题.它是Lagrange插值和Hermite插值的一般情形；主网格是以经典单纯形为结构的多元多项式插值适定结点组.它们在曲面外形设
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Box样条及Birkhoff插值问题在数值分析、逼近论等学科中有着广泛的应用.Box样条和多元截断幂分别作为B样条函数和一元截断幂的高维推广,与剖分函数有着重要联系,二者在离散几何、组合数学等多个数学领域有重要的意义Birkhoff插值是一类满足非逐个导数值条件的插值问题.它是Lagrange插值和Hermite插值的一般情形；主网格是以经典单纯形为结构的多元多项式插值适定结点组.它们在曲面外形设计、有限元等学科中有着重大价值.本文主要针对Box样条、多元截断幂的显式表达式计算,Box样条各方向剖分线的最小光滑度计算以及二元Birkhoff插值和主网格上插值误差问题进行研究.主要工作包括：1.Box样条及多元截断幂的显式表达是一个非常困难的问题.传统的计算方法仅仅能够根据其具体的关联矩阵进行计算,而很难给出其普遍的显式表达式.文[19]的工作指出,多元截断幂的Laplace变换可以看成超平面构形（所谓超平面构形,是指在有限维向量空间中由仿射超平面构成的有限集）的一种表达形式.借助这一思想,我们利用超平面构形的分解定理,给出二维和三维欧式空间中关联矩阵是可重列向量矩阵的多元截断幂的计算公式,从而得到二维和三维欧式空间空间中的Box样条及多元截断幂的显式表达式.2.Box样条是以关联矩阵列向量的平移为剖分线的样条函数,其各个方向剖分线的光滑度是未知的.这给人们了解Box样条的性质带来很大困难.本文根据光滑余因子协调法,利用第一部分关于Box样条和多元截断幂显式表达式的工作,给出了二元Box样条和截断幂在各方向剖分线的最小光滑度的计算方法.这一结论改进了已有的相关光滑度的结果,从而更加精细地刻画了Box样条和多元截断幂的空间结构.3. Birkhoff插值是一类满足非逐个导数值条件的插值问题.作为Lagrange插值和Hermite插值的一般情形,Birkhoff插值的研究非常困难,甚至连一元Birkhoff插值点组都可能不是唯一可解的.而构造Birkhoff插值泛函集（所谓Birkhoff （?）插值泛函集,是指由插值结点和该点的导数构成的泛函组成的集合）是解决Birkhoff插值问题的有效工具.本文借助于梁学章教授（[38]）关于多项式插值的添加直线法的思想,引入沿平面代数曲线上的Birkhoff插值泛函集的概念,给出一类Birkhoff插值泛函集的叠加构造方法.此方法对于节点和求导方向均有很大的任意性,有效地解决了多元Birkhoff（?）插值问题.4.主网格是以经典单纯形为结构、由超平面的交点构成的多元多项式插值适定结点组,其广泛应用于各种有限元方法中,因此主网格插值误差的估计就显得尤为重要.借助主网格的特殊结构,我们计算了一类结构分布较为规范的主网格：一般主网格（Generalized Principal Lattices）的插值误差.结果表明,m次一般主网格的插值误差和以下三项有关：插值区域的范围、被插值函数的m+1阶导数、同一超平面束中的超平面之间的距离比.这一结果可使我们更加清楚地知道了造成一般主网格插值误差大小的内在因素.此外,我们给出了一类更精确的主网格插值误差的上界估计.数值试验表明,基于该误差上界得到的低次一般主网格上的插值误差远远小于已有的误差结果.
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