本文利用活动标架法得到了R3和Rd中随机相交线偶的运动不变密度公式。通常的线偶运动不变密度问题和相关的几何概率问题，是在无条件概率空间下研究的。而随机相交线偶的相关问题，是在条件概率空间下研究，至今还没有相关结果。由于我们要建立随机相交线偶的双弦幂积分概念，因此需要得到相交线偶的运动不变密度公式。本文通过大量的理论研究、论证及计算，获得了我们期待的随机相交线偶的运动不变密度公式。在积分几何与几何概率关于线偶的理论中，开创了新的研究领域，使得线偶的运动不变密度理论系统进一步完善。它为研究理论上非常重要的运动公式提供了新的手段和方法，从理论和应用上都是非常重要的成果。　　根据随机相交线偶的运动不变密度公式，本文进而又建立了随机相交线偶与凸体相交的双弦幂积分概念，开创了积分几何与几何概率中非常重要的弦幂积分理论新的研究领域。双弦幂积分的概念是在弦幂积分理论基础上建立的一个新概念，从某角度看，弦幂积分是双弦幂积分的特殊情形。双弦幂积分所获得的几何信息更丰富。本文获得了双弦幂积分的一些重要的性质、双弦幂积分不等式以及双弦幂积分相关的运动公式。双弦幂积分理论对研究几何不变量、几何概率问题、几何不等式、几何断层学等都是非常重要的理论工具。　　在随机相交线偶的运动不变密度公式理论基础上，本文利用凸体的径向函数、对偶均质积分、均质积分和弦幂积分，并通过复杂性很高的积分计算和理论证明。获得了圆盘和球体上的一系列双弦幂积分公式和双弦幂积分与弦幂积分的系列关系式，进一步发展了弦幂积分的理论。　　本文还利用双弦幂积分的概念和获得的一些性质，研究了相应的几何概率问题，得到了随机相交线偶的交点落入圆盘和球体内的几何概率，同时由这些结果得到了相应针偶的几何概率，使经典的Buffon投针问题进一步推广，为实际应用提供了更多理论依据。　　极限定理是研究随机微分方程的重要工具。经典的极限定理中的驱动过程都是取值于欧氏空间的（解过程可以取值于流形）;Emery将这一结果推广到驱动过程也可以取值于流形，但收敛是依概率的，我们将Emery的结果改进为在Lp中收敛及几乎必然收敛。　　我们得到了关于随机积分的分数次光滑性的一些结果，推广并改进了Airault-Ren-Zhang关于Brown运动的局部时的光滑性的工作。