研究随机集合中的算术结构是加性数论中的重要问题。本论文主要研究稠密随机集的结构，证明差集在包含高次幂上具有很高的可能性，主要结果的证明依赖于Green和Green-Tao的限制理论。　　 本文的主要结果包含两部分：　　 第一部分：k次方幂的存在性　　 设0<δ≤1，N≥5(素数)，函数f：ZdN→[0,1]是一有界函数，给定k=(k1，k2，…kd)，记rk=(r1k1，r2k2，…，rdkd)，如果　　 Ef≥δ，　　 那么　　 E(∫(n)∫(n+rk)|n∈ZdN，1≤ri≤()ki√N/3」)≥c(δ)-oδ(1)。其中c(δ)是与δ相关的一个正常数。　　 第二部分：随机差集中的k次方幂结构　　 设k≥3是整数，W是ZdN的一个随机子集，使得任意x∈ZdN，事件x∈W相互独立，且其概率为p=p(Nd)∈(cN-θd，1]，这里0<θ<θk，θk=1/10·(6k-1)，θk依赖于k.设α>0,如果A()W，|A|≥α|W|，那么事件　　 存在x，y∈A，使得对于某个n∈Nd，有x-y=nk。