本文首先对方程根式解的存在形式及其特点进行了讨论。当多项式方程的次数为二次、三次及四次时，通过变量代换的方法能够求出方程的解，并能给出相应的求根公式。对于系数是不定元的一般四次以上的方程，Abel验证了这些方程是没有根式解的，即没有一个通用的求根公式。然而对于某些系数已知的高次方程是可能存在根式解的。Galois从群论的角度证明了当方程的Galois群是可解群时，该方程存在根式解。根据这个定理可以进一步探究，如果方程的Galois群是交换群、超可解群、幂零群时，方程根式解的特点会有哪些。文中先是对低次方程的求解过程进行了基础性的描述，叙述中运用了扩域的方法，将方程的解通过数域的逐步扩张表示出来。在探讨一些高次方程的根式解时，主要通过研究方程的Galois群所具有的特点，结合着扩域的思想，寻找到了求解这些方程根式解的方法，并将这一方法进行了推广。本文证明了当高次方程的Galois群是交换群、超可解群及幂零群时，方程的根式解都是经过逐步的循环扩张得到，并在此基础上给出了高次方程根式解的特点。其次，本文通过对方程的Galois群所具有的性质进行研究，给出了一个判断多项式不可约性的方法。对于有理数域Q上的整系数多项式，常用Eisenstein判别法来判断多项式是否具有可约性。文中从方程的Galois群这一角度进行了研究，根据方程的Galois群的特点来判断多项式的不可约性，证明了对于Q上给定的整系数多项式，如果方程的Galois群不能分解为两个子群的直积形式，那么该多项式是不可约的，并且进一步指出了定理的逆定理是不成立的。该定理在分析多项式是否具有不可约性这个问题上提出了又一解决方法。