近十几年来,拓扑材料是一种全新的量子物态,并已成为当前的热门研究领域之一。自从量子霍尔效应被发现以来,拓扑理论与实验取得巨大进展,大量的拓扑材料被人们理论预言并得到实验证实。同时拓扑物态的家族成员也日益发展壮大,比如拓扑绝缘体、拓扑狄拉克/外尔半金属、拓扑节点线半金属、拓扑三重简并点半金属、拓扑（晶体）近藤绝缘体,拓扑超导等。这些受到晶体对称性保护的拓扑物态对外界微扰具体很强的鲁棒性,这为其稳定地存在于晶体中以及能在未来工业应用提供了重要保障。密度泛函理论与群论在拓扑物态的理论研究中起着非常重要的作用,促使人们发现了大量的拓扑材料和新奇的量子态。事实上,人们利用密度泛函理论计算寻找各种类型的拓扑态,然后利用群理论分析拓扑态能稳定存在所需要的对称性。通过破坏对称性和施加外场等手段,实现拓扑相变和拓扑物态的调控成为当前比较流行的研究方法。本论文的主要内容和结论被罗列如下:在第一章中,首先我们主要回顾几种拓扑物态的发展情况,也就是量子霍尔效应家族、拓扑绝缘体、拓扑半金属。在第二章中,我们详细地介绍密度泛函理论的基本理论和瓦尼尔函数理论。这些理论与计算方法为我们的工作能顺利地开展提供了基础。然后简单地介绍拓扑不变量理论。拓扑不变量是表征这些拓扑物态的有效方式,有助于人们准确地辨别材料的拓扑属性。在第三章中,我们研究了全部磁空间群中的狄拉克半金属态,并把狄拉克半金属的概念推广到了第四类磁空间群,论证了狄拉克半金属在该类磁空间群中的可行性,并系统研究了狄拉克点存在的对称性要求和分布情况。根据理论分析提供的对称性要求和第一性原理计算,我们预言了层间反铁磁EuCd₂As₂很有可能是一种理想的第四类磁空间群下的反铁磁狄拉克半金属的候选材料——在费米能级上仅有一对狄拉克点。人们可以从这种反铁磁半金属实现许多新奇的拓扑态。例如,当三重旋转对称性被打破时,它就可以演变为Moore等人讨论的反铁磁拓扑绝缘体,并且在具有的能隙的表面上可以实现半量子霍尔效应。如果空间反演对称性被破坏,可能会导致三重简并点半金属相,而不是Weyl半金属相。该理论工作极大地推广了狄拉克半金属的搜索范围,并为反铁磁狄拉克半金属的寻找提供了清晰的路线图,推动了拓扑半金属领域的研究进展。在第四章中,我们研究了三维材料NaCdAs的拓扑性质。通过第一性原理计算,我们发现当不考虑自旋轨道耦合效应时,Pnma相的NaCdAs是一种三维拓扑节线半金属。这种拓扑节线半金属在体内只存在唯一的节线环,并且在（100）表面上展示出几乎平坦的类似鼓膜状的表面态。同时该节线环受到滑移镜面对称ˉM₁₀₀的保护,能稳定地存在于NaCdAs晶体内。当引入自旋轨道耦合效应后,体系发生了由拓扑节线半金属到拓扑绝缘体的拓扑相变。自旋轨道耦合效应导致体系的能带发生了巨大的变化,并且使节线环上所有的节点打开了能隙,体系进入了拓扑绝缘体相。因此,Pnma相的NaCdAs为人们想通过调节SOC强度来实现体系拓扑相变提供了一个可以选择的途径。在第五章中,我们在六方相ABC晶体材料中预言一种新的拓扑狄拉克半金属,这种拓扑狄拉克半金属在体内存在唯一一对狄拉克点,在其表面上展现出非平庸的拓扑表面态,类似于拓扑狄拉克半金属Na₃Bi。在自旋轨道耦合效应的影响下,六方相NaCdAs的能带发生反转,反带深度大约0.5eV,其拓扑数为Z₂=1,在高对称线Γ-A方向上形成两个无能隙的Dirac点。在三维材料NaCdAs中拓扑Dirac半金属的发现有助于进一步研究六方相ABC材料的拓扑性质,促进狄拉克半金属材料的未来应用。最后,我们给出本论文的总结和未来工作的展望。