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半群理论于1904年形成并获得正式的名称。由于它可以直接应用于偏微分方程,数学物理,势理论及Markov过程,半群理论自20世纪30年代以后获得极大发展,并在60年代发展出C-半群,颁半群及余弦函数理论,最近又出现了积分半群,积分余弦函数及拟分布半群理论,其理论体系进一步完善。
本文在此基础上主要研究了C-半群的逼近,C-半群的解析族,α-次积分余弦函数的生成,余弦函数的遍历及拟分布余弦函数的理论。本文共分四章:
第一章不用Laplace变换的方法,利用两个C-半群及C-豫解式之间的关系式给出了非指数有界C-半群序列收敛的充分条件(参见[59],[48])。
定理1.1.6设{T<,n>(T)}<,t≥0>是一个C<,n>-半群,生成元为以A<,n>(n∈N),{T(t)}<,t≥0>是一个生成元为A的C-半群.如果(i)sup(||T<,n>(t)||}≤φ(t),这里φ(t)是一个在[0,∞)上连续的正的实值函数;作为定理1.1.6的应用,我们还得到定理1.1.12 设(A<,m>,S<,n>(t))∈G(ω,Z,W,k)(n∈N),如果(ii)存在λ<,0>ω,使得R(λ<,0>)是单射且有稠的值域;
本章第二节研究了王声望在[54]中提出的公开问题,对生成元为A的C-半群得到如下结果;
定理1.2.5 当ImC在X中稠且为有限集时,中有且只有一个元素。
定理1.2.6 如果ImC在X中稠且A是X上的一个有界线性算子,且中有且只有一个元素。
本章第三节研究了C<,0>-半群的单值扩张性质。
命题1.3.2,命题1.3.3,命题1.3.4,对C<,0>-半群{T(t)}<,t≥0>,如果存在某个t<,0>>0,使得T(t<,0>)有单值扩张性质,则R(λ,A),A均有SVEP。
第二章主要研究了余弦函数及拟伪豫解式的遍历性。
定理2.2.1令{C(t)}<,t≥0>是一个强连续余弦函数,若存在M>0,使得对充分大的t>0,t<-2>‖S(t)‖≤M,则下列条件等价:(iii)Im(L(λ)<2>)按X范数在Im(λL(λ))中稠且(ii)中的不等式成立。
定理2.3.4. 令L(·)如定理2.3.1所述,则下列条件等价;
(i)L(·)强Abel-遍历;
(ii)L(·)弱Abel-遍历;
第三章主要讨论了分数次积分余弦函数的生成。
第四章首先研究了局部积分余弦函数,二次存在族与Cauchy问题解的存在唯一性之间的等价关系。
定理4.2.5令k∈N<,0>,0<τ≤∞,A是闭线性算子,则下列条件等价:(i)C<,l+1>(τ)适定;
(ii)C<,k+1>(τ)的所有解唯一且存在一个关于A的弱二阶k次积分族;
(iii)A生成一个非退化的局部k-次积分余弦函数。
定理4.3.7. 令A为闭算子,则成立:(i)若A生成一个QDCF,则存在k<,0>∈N及τ<,0>>0,使得C<,k<,0>+1>(τ<,0>)适定;
(ii)若存在k<,0>∈N使得C<,k<,0>+1>(∞)适定,则A生成一个QDCF。