半群理论于1904年形成并获得正式的名称。由于它可以直接应用于偏微分方程，数学物理，势理论及Markov过程，半群理论自20世纪30年代以后获得极大发展，并在60年代发展出C-半群，颁半群及余弦函数理论，最近又出现了积分半群，积分余弦函数及拟分布半群理论，其理论体系进一步完善。 本文在此基础上主要研究了C-半群的逼近，C-半群的解析族，α-次积分余弦函数的生成，余弦函数的遍历及拟分布余弦函数的理论。本文共分四章： 第一章不用Laplace变换的方法，利用两个C-半群及C-豫解式之间的关系式给出了非指数有界C-半群序列收敛的充分条件(参见[59]，[48])。 定理1．1．6设{T<,n>(T)}<,t≥0>是一个C<,n>-半群，生成元为以A<,n>(n∈N)，{T(t)}<,t≥0>是一个生成元为A的C-半群．如果(i)sup(||T<,n>(t)||}≤φ(t)，这里φ(t)是一个在[0，∞)上连续的正的实值函数；作为定理1．1．6的应用，我们还得到定理1．1．12 设(A<,m>，S<,n>(t))∈G(ω，Z，W，k)(n∈N)，如果(ii)存在λ<,0>ω，使得R(λ<,0>)是单射且有稠的值域； 本章第二节研究了王声望在[54]中提出的公开问题，对生成元为A的C-半群得到如下结果； 定理1.2.5 当ImC在X中稠且为有限集时，中有且只有一个元素。 定理1.2.6 如果ImC在X中稠且A是X上的一个有界线性算子，且中有且只有一个元素。 本章第三节研究了C<,0>-半群的单值扩张性质。 命题1.3.2，命题1.3.3，命题1.3.4，对C<,0>-半群{T(t)}<,t≥0>，如果存在某个t<,0>>0，使得T(t<,0>)有单值扩张性质，则R(λ，A)，A均有SVEP。 第二章主要研究了余弦函数及拟伪豫解式的遍历性。 定理2.2.1令{C(t)}<,t≥0>是一个强连续余弦函数，若存在M>0，使得对充分大的t>0，t<-2>‖S(t)‖≤M，则下列条件等价：(iii)Im(L(λ)<2>)按X范数在Im(λL(λ))中稠且(ii)中的不等式成立。 定理2.3.4. 令L(·)如定理2.3.1所述，则下列条件等价； (i)L(·)强Abel-遍历； (ii)L(·)弱Abel-遍历； 第三章主要讨论了分数次积分余弦函数的生成。 第四章首先研究了局部积分余弦函数，二次存在族与Cauchy问题解的存在唯一性之间的等价关系。 定理4．2．5令k∈N<,0>，0<τ≤∞，A是闭线性算子，则下列条件等价：(i)C<,l+1>(τ)适定； (ii)C<,k+1>(τ)的所有解唯一且存在一个关于A的弱二阶k次积分族； (iii)A生成一个非退化的局部k-次积分余弦函数。 定理4．3．7. 令A为闭算子，则成立：(i)若A生成一个QDCF，则存在k<,0>∈N及τ<,0>>0，使得C<,k<,0>+1>(τ<,0>)适定； (ii)若存在k<,0>∈N使得C<,k<,0>+1>(∞)适定，则A生成一个QDCF。