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设k是正整数,f是SLn(Z)上的自守形式.在自守L函数的理论中,对积分均值I(k,T,f)=∫fO︱L(s,f)︱2kdt的研究占有十分重要的地位,在解析数论的许多著名问题中也有着极其重要的应用.在过去的几十年里,许多数学家在这一领域做出了很多有意义的结果,这可以参考综述性文献[l7].在GL1的情况下,这一问题转化为对黎曼ζ函数和Dirichlet L函数的积分均值.设I(k,T)=∫TO︱ζ(1/2+it)︱2kdt,I(k,T,q)=1/ψ(q)Σxmodq∫TO︱L(1/2+it,x)︱2kdt
对黎曼ζ函数,当k=1时,Hardy和Littlewood[6]得到了著名的渐近公式I(1,T)～TlogT.
当k=2时,Ingham[10]给出了ζ函数的四次积分均值渐近公式I(2,T)～1/2π2T(1logT)4
另外,对所有正整数k≥1,Ramachandra[25]得到了I(k,T)的下界I(k,T)＞＞T(10gT)k2
此后,Heath-Brown[7]证明了对所有正的有理数k＞0,上式也成立.
对Dirichlet L函数,Rane[27]证明了二次积分均值I(1,k,q)=ψ(q)/q(TlogT+(2γ-1+logq/2π+∑logp/p-1)T)+O(T1/2logT)但对Dirichlet L函数的四次积分均值,目前为止还没有渐近公式,只能得到上界估计O(T(logT)4).
在广义Lindel(o)f猜想下,对k≥1,下面两个结果都成立:I(k,T)＜＜T1+δε(1)I(k,T,q)＜＜T1+ε(2)
但当k≥3时,(1)和(2)的无条件结果还没被证明.Heath-Brown[7]证明了如下上界I(6,T)＜＜T2(log T)17
Meurman[19]推广了Heath-Brown的结果,他得到I(6,Tq)＜＜q3T2+ε/ψ(q)
有关黎曼ζ函数和Dirichlet L函数的积分均值及推广已作了广泛深入的研究,有关内容可参看[3],[8],[9],[11],[20],[22],[24],[26],[30]和[31].
在这篇文章中,我们将研究L(s,f)的二次积分均值,其中f是SL3(Z)上正规化的Hecke-Maass形式.设ε是任意小的正数,且2/3+ε≤σ=(R)s≤1.Matsumoto[18]在假设Ramanujan猜想的情况下,证明了∫To︱(s,f)︱2dt=(Σn=1)︱a1,n︱2/n2σT+O(T3-3σ+ε),
其中a1,n是f的傅里叶系数.
我们将在无条件下,用与[18]中不同的方法,证明如下结果.定理1.1设f是SL3(Z)上正规化的Hecke-Maass形式.那么对任意小的正数ε,当2/3+ε≤σ＜1时,我们有∫To︱L(s,f)︱2dt=c1(σ)T+O(T2-3σ/2+ε),(3)
其中c1(σ)=Σn=1︱a1,n︱2/n2σ
a1,n是f的傅里叶系数.
我们将用[13]中方法得到L(s,f)的渐近函数方程,即把L(s,f)表示为两部分.每一部分本质上都是有限和,再对两部分分别估计二次积分均值,有一部分可得到主项,其余部分均为余项.
用同样的方法,我们还可以考虑L(s,f)的二次积分均值,得到如下结果.
定理1.2在定理1.1的条件下,我们有To︱L(s,f)︱2dt=c2(σ)T+O(T2-3σ/2+ε),(4)
其中C2(σ):Σn=1︱a1,n︱2log2n/n2σ