【摘 要】
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文中考虑三类椭圆方程柯西问题：齐次椭圆方程柯西问题,半线性椭圆方程的柯西问题,变系数椭圆方程柯西问题.对齐次椭圆方程柯西问题,我们主要考虑要重构的解是一个不连续函数的情形.首先我们把原柯西问题等价地转化成一个第一型的Fredholm积分方程，该积分方程是不适定的,我们利用三种正则化方法（L2,H’,MTV-正则化）处理它.在正则化过程中,我们给出利用三种方法求解正则化解的变分形式,接着利用一阶必要
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文中考虑三类椭圆方程柯西问题：齐次椭圆方程柯西问题,半线性椭圆方程的柯西问题,变系数椭圆方程柯西问题.对齐次椭圆方程柯西问题,我们主要考虑要重构的解是一个不连续函数的情形.首先我们把原柯西问题等价地转化成一个第一型的Fredholm积分方程，该积分方程是不适定的,我们利用三种正则化方法（L2,H’,MTV-正则化）处理它.在正则化过程中,我们给出利用三种方法求解正则化解的变分形式,接着利用一阶必要条件导出了每种方法的正则化解满足的欧拉方程.数值离散中,我们对每种方法的欧拉方程进行离散求出正则化近似解.对修正全变差正则化（MTV-正则化）,欧拉方程的离散形式是一个非线性方程组,我们采用一种固定点迭代方法解该非线性方程组得到MTV-正则化近似解.在数值模拟过程中，三种正则化方法的正则化参数均采用Morozov不一致原理进行选取.并且我们比较了利用每种方法重构不连续解的优点和缺点.数值结果显示,在重构不连续解时,相比L2,II1-方法而言,修正全变差正则化（MTV-正则化）技巧更为稳定有效.然而,由于MTV-正则化会导致一个非线性的椭圆型积分-微分方程,因此需要更多的计算时间.另外，我们通过一个数值算例单独分析了一些参数对MTV-正则化解的影响程度.到目前为止，我们没有发现有考虑半线性椭圆方程柯西问题的相关文献.第三章,我们首次对这类问题进行研究.首先.我们分别利用傅里叶截断正则化方法和修正拟边值方法处理了有界区域上一个抽象的半线性椭圆方程柯西问题，并在精确解的先验假设下,我们给出并证明了两种正则化方法的收敛性估计数值结果显示，利用傅里叶截断方法和修正拟边值方法求解半线性椭圆方程柯西问题是稳定可行的.另外在这部分,我们单独考虑了一个半线性泊松方程柯西问题.注意到,该问题虽然是抽象的半线性椭圆方程柯西问题的一种特殊情形，但这里我们用一种类似于修正拟边值的方法对该问题进行求解.这种方法可以看作是对修正拟边值方法的一个推广第四章考虑一类变系数的椭圆方程柯两问题.首先我们利用两种迭代方法求解该问题.注意到.即使在给精确解加较强的先验界假设时，第一种迭代方法也得不到正则化解在边界上的收敛率.为了解决这一问题,我们给出了第二种迭代方法,该方法是对第一种方法的一个改进,是一种以谱截断技巧为基础的迭代方法.在作两种方法的收敛性估计时,我们分别采用先验和后验规则选取正则化参数,并得到了两种算法的阶数最优的收敛性估计结果.另外,我们利用修正拟边值方法和简化Tikhonov正则化方法处理该问题,并在精确解的先验界假设下,给出并证明了两种方法的收敛性估计.在数值计算方面,我们通过一些算例验证了每种方法的正则化效果.
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