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本文考虑p—Laplacian边值问题{-(|u|p-2u)=λf(u),t∈(0,1),u(0)=0,u(1)+αlim(t→1-0)u(t)=0,(1.1)正解的存在性与不存在性,其中p>1,α≥0,且λ>0是一个正参数。本文的主要内容是利用积分方法,对f从正变到负的情形给出问题(1.1)正解的存在性和不存在性结论。我们假设:(A0)f:(0,+∞)→(-∞,+∞)连续,且存在μ*>0,使得 f(μ*)=0,当u∈(0,μ*)时,f(u)>0;当u∈(μ*,+∞)时,f(u)<0。(A1)当Tμ*<+∞时,存在0<ε<μ*,使得 f在(μ*-ε,μ*)上单调递减,其中Tμ*=∫μ*0(∫μ*u f(z)dz)-1/p du。为方便起见,在本文中以∧表示由下式定义的区间∧={(0,μ*),(Tμ*=+∞,(0,μ*],Tμ*<+∞,定义函数T(ω,r)=∫rω(∫ru f(z)dz)-1/p du,其中0≤ω≤r,r∈∧。当Tμ*<+∞时,记λ*α=p-1/p[T(0,μ*)+T(ω*α,μ*)]p,其中 ω*α∈[,μ*)由方程ω*α=α[T[0,μ*]+T(ω*α,μ*)][∫μ*ω*α f(z)dz]1/p.唯一确定。本文主要结论是:定理1.1设Tμ*=+∞,则(1)问题(1.1)不存在满足条件maxt∈[0,1]u(t)≥μ*的正解u.(2)当limz→0[f(z)/zp-1]=0时,存在λ1>0使得(2-I)对任意给定的λ>λ1,问题(1.1)存在两个正解u1,u2满足条件max u1(t)λ1,问题(1.1)存在一个满足条件maxt∈[0,1] u(t)<μ*的正解u;(2-iii)对任意给定的λ=λ1,问题(1.1)不存在满足条件maxt∈[0,1] u(t)<μ*的正解u.(3)当limz→0[f(z)/zp-1]=c时,其中00使得(3-I)对任意给定的λ>λ1,问题(1.1)存在一个满足条件maxt∈[0,1] u(t)<μ*的正解u:(3-ii)对任意给定的λ>λ1,问题(1.1)不存在满足条件maxt∈[0,1] u(t)<μ*的正解u.(4)当limz→0[f(z)/z9-]=+∞时,对任意给定的λ>0,问题(1.1)存在一个满足条件maxt∈[0,1] u(t)<μ*的正解u.定理1.2设Tμ*<+∞,则(1)问题(1.1)不存在满足条件maxt∈[0,1] u(t)>μ*的正解u.(2)对任意给定的λ<λ*α,问题(1.1)不存在满足条件maxt∈[0,1] u(t)>μ*的正解u.(3)对任意给定的λ≥λ*α,问题(1.1)存在唯一的满足条件maxt∈[0,1] u(t)=μ*的正解u。定理1.3设Tμ*+<+∞则(1)当limz→0[f(z)/zp-1]=0时,存在0<λ1≤λ*α三使得(1-I)对任意给定的λ>λ1,问题(1.1)存在一个满足条件maxt∈[0,1] u(t)<μ*的正解u:(1-ii)对任意给定的λ<λ1,问题(1.1)不存在满足条件maxt∈[0,1] u(t)<μ*的正解u。(2)当limz→0[f(z)/zp-1]=c时,其中0λ2时,问题(1.1)不存在满足条件maxt∈[0,1] u(t)<μ*的正解u;(2-ii)当λ1<λ<λ2时,问题(1.1)存在一个满足条件maxt∈[0,1] u(t)<μ*的正解u。(3)当limz→0[f(z)/zp-1]=+∞时,存在λ1≥λ*α>0使得(3-I)当λ>λ1时,问题(1.1)不存在满足条件maxt∈[0,1] u(t)<μ*的正解u;(3-ii)当0<λ<λ1时,问题(1.1)存在一个满足条件maxt∈[0,1] u(t)<μ*的正解u。