多尺度几何分析和极小化能量泛函方法是当前数学图像处理和计算机视觉等领域最具代表性的两种研究范式,这方面的研究已引起广大学者的普遍关注。一方面新的成果不断涌现,另一方面,已有的成果仍存在许多值得进一步研究的问题。本文基于这两种范式,主要提出并解决了以下问题:1、针对图像的曲线状奇异性表征问题和Candes单尺度脊波框架的冗余问题,利用局部化原理和Donoho构造的正交脊波,提出了一种单尺度正交脊波紧框架。该框架不仅保留了Candes单尺度脊波的方向性,而且具有正交性。另外,针对边缘具有一定光滑性的图像,讨论了该框架对其的非线性逼近性。实验结果表明,所提单尺度正交脊波在图像压缩、图像恢复及图像去噪中均得到较好地应用。2、针对Starck分解模型在算法复杂度、纹理表征和噪声约束诸方面所存在的一些不足,提出一种基于基追踪的极小化能量泛函模型。该改进模型利用第二代曲波和波原子,分别表征含噪图像中的结构分量和纹理分量,并采用全变差半范约束分片光滑部分的结构性,同时利用Meyer所建议的广义齐型Besov范数对噪声分量进行约束,最后利用基追踪去噪算法,对新模型进行迭代求解。实验结果表明,所提能量泛函模型不但对噪声具有较强的鲁棒性,而且能使边缘和细小纹理信息保持稳定。3、为了解决多尺度几何分析在图像抑噪应用中出现的“虚假”效应问题,提出一种带变换域约束条件的极小化全变差能量泛函。该能量泛函将多尺度几何分析和极小化能量泛函方法有机地结合起来。首先对降质图像利用多尺度几何分析进行相应变换和非线性阈值,然后根据保留的变换系数确定可行域,从而建立所提能量泛函模型,最后利用投影梯度算法对其进行求解,并以有限脊波变换和第二代曲波变换为例,进行了图像抑噪仿真实验。实验结果表明,所提能量泛函在有效抑噪和保持边缘的同时,能够有效地抑制伪吉布斯振荡、“卷绕”伪直线和“曲波状”伪曲线等“虚假”效应,取得了较为理想的视觉效果。4、针对经典极小化能量泛函中平衡参数对图像振荡分量先验信息的过分依赖性,首先讨论了一类更为一般的Meyer分解模型,并证明了解的存在性和唯一性。然后将平衡参数视为尺度参数,提出一种分级多尺度极小化能量泛函,并导出一种图像的多尺度表示方法。同时,对这一多尺度表示方法的收敛性进行了理论分析。最后,利用BV近似W 1,1导出一种新的近似求解算法。数值实验结果表明,所提能量泛函在各类图像处理中均有较好的应用。5、针对图像恢复应用中,经典全变差正则化方法的阶梯效应和细小纹理信息丢失问题,从两种不同视角提出如下解决方案:(1)提出一种自适应正则化的极小化能量泛函,将图像分解为结构分量和振荡分量,其中对结构分量的正则化是通过TV光滑化和各向同性光滑化之间的插值得到,即依据图像局部特征进行一种自适应正则化;振荡分量被置于div(BMO)空间中加以讨论。此外,我们对所提能量泛函解的存在唯一性进行了理论证明,并导出其相应的Euler-Lagrange方程。实验结果表明,所提能量泛函在实际图像分解应用中,不但能够较好地保持边缘和细小纹理,而且有效地抑制了阶梯效应。(2)利用Meyer的振荡模式分解理论,提出了一种磨光流场的全变差正则化抑噪方法。该方法首先引入负指数Hilbert-Sobolev范数来度量逼近项,对图像水平曲线的法向量场进行全变差正则化磨光,然后构造一个曲面拟合能量泛函,对磨光后的流场进行拟合。最后,导出各能量泛函所对应的Euler-Lagrange方程,并利用有限差分法进行数值求解。实验结果表明,该方法在有效去噪的同时,能够较好地保持边缘和纹理信息,并且使阶梯效应也得到有效地抑制。