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低差分函数可分为完全非线性函数、几乎完全非线性函数和4-差分函数。它们在密码学中有着广泛的应用。很多分组密码的设计使用定义在F22k上的具有低差分均匀度,高非线性度,以及高代数次数的置换做为它们的S盒去提供混淆。众所周知,对于有限域F2n上的函数,差分均匀度最低为2,即APN函数。然而,由于缺乏F22k上的APN置换,人们经常选择4-差分置换来做S盒。本文在介绍偶扩张上的4-差分置换的基础上,着重介绍了屈龙江等人最近使用“交换方法”的构造工作。通过仔细研究该算法,我们得到了更多优先函数和4-差分置换。特别是n=6时我们得到了34类4-差分置换,而屈龙江等人的论文中只有7类。 本文的另一项工作是关于差分函数的研究。给出了两个判断给定函数是否为差分函数的判别准则。然后给出了Fq上差分函数数量的上界和下界。特别地,当有限域的特征为2时,给出了关于这个数量的递归公式。确定了所有Fq上差分函数的代数次数集合。提出了求解给定差分函数的逆函数的算法。最后,我们证明了两个差分函数有共同逆函数的充分必要条件。