低差分函数可分为完全非线性函数、几乎完全非线性函数和4-差分函数。它们在密码学中有着广泛的应用。很多分组密码的设计使用定义在F22k上的具有低差分均匀度，高非线性度，以及高代数次数的置换做为它们的S盒去提供混淆。众所周知，对于有限域F2n上的函数，差分均匀度最低为2，即APN函数。然而，由于缺乏F22k上的APN置换，人们经常选择4-差分置换来做S盒。本文在介绍偶扩张上的4-差分置换的基础上，着重介绍了屈龙江等人最近使用“交换方法”的构造工作。通过仔细研究该算法，我们得到了更多优先函数和4-差分置换。特别是n=6时我们得到了34类4-差分置换，而屈龙江等人的论文中只有7类。　　本文的另一项工作是关于差分函数的研究。给出了两个判断给定函数是否为差分函数的判别准则。然后给出了Fq上差分函数数量的上界和下界。特别地，当有限域的特征为2时，给出了关于这个数量的递归公式。确定了所有Fq上差分函数的代数次数集合。提出了求解给定差分函数的逆函数的算法。最后，我们证明了两个差分函数有共同逆函数的充分必要条件。