众所周知,样条函数在函数逼近、计算几何及小波等领域中有较为重要的应用.与此同时,样条与基础数学的一些领域,如代数几何、微分方程、离散几何及组合数学等,亦有着密切关联.本文主要针对数值差商以及与样条函数相关的基础数学领域中的一些问题进行研究.主要内容为：超收敛数值差商公式研究；离散几何中的样条方法；组合学中的样条方法；渐近分析中的双正交系统.主要工作如下：(1)王兴华、王何宇和来明骏教授于文[1]中针对充分光滑函数,给出了数值差商公式余项的估计,并且推导出若干超收敛的数值差商公式及其余项的Lagrange表示.但他们给出的这类超收敛公式余项的Lagrange表示定理仅仅限定在节点不超过四个的情况.他们猜想这一结论对于任意正整数个节点成立.我们证明了这一猜想,得到了比较广泛的一类超收敛的数值差商公式余项的Lagrange表示定理.使得Brodskii([2]),de Boor ([3]),Floater([4]),王兴华([5,6])等人关于数值差商公式余项的结果作为该定理的特例.(2)在离散几何问题的研究中,引入样条方法.将离散几何中的超立方体切面问题转化为与之等价的样条函数问题.超立方体切面问题的研究最早可以追溯到Laplace和Polya的工作.他们分别利用概率方法给出了切面体积的积分表示和渐近形式.Polya所给出的体积公式在离散几何的相关问题的研究中,具有十分重要的地位.例如著名的Good猜想,其证明就是由Hensley利用概率论的方法巧妙地估计了Polya所给出的公式.此外Hensley还给出了另一个关于切面最大值的猜想.1989年,K.Ball([7])对Polya所给出的体积积分公式进行估计，证明了Hensley猜想.2001年,Borwein([8])也曾给出类似于Polya的积分公式.但是上述关于超立方体切面的结果大多由概率方法得到.在本文中,我们提出一种样条方法.给出了Laplace和Polya结果的样条证明.考察了B样条函数及其导函数在L~p空间的渐近性并且给出了逼近阶,从而使得Laplace和Polya关于超立方体切面体积的渐近结果作为该定理的简单推论.该定理不但可以用于立方体切面研究,而且在该结果在计数组合学中亦发挥着重要的作用.(3)利用样条理论研究了一系列的计数组合学问题,为离散对象的研究提供了一种新的分析方法.使得样条与组合学这两个领域的很多结果相互关联.给出经典Eulerian数和两类广义Eulerian数的样条解释.将组合学中著名的Worpitzky恒等式与样条函数理论中的Marsden恒等式建立起联系,从而使前者作为后者的特例.Eulerian数的积分表示作为B样条积分表示的一种特殊情况.将样条方法引入到组合数的渐近分析中,得到了三类组合数的渐近性质.不同于以往的概率方法,样条方法能够更为精确的刻画组合数的逼近形式.L.Carlitz([9])等人利用中心极限定理得到Euelrian数渐近公式的逼近阶为3/4阶.我们利用样条方法,得到更为精确地逼近阶.组合序列的对数凹性是计数组合学研究的重要问题之一.一般而言,研究组合序列的对数凹性有以下几种方法：直接的组合方法、多项式实零点方法、解析法、混合体积法、代数方法等.美国科学院院士Richard P. Stanley([10])和Francesco Brenti([11,12])教授等人在这一领域做了大量详实而深刻的研究.在此,我们给出一种研究组合序列对数凹性的新方法——样条方法.利用该方法,证明了多种广义Eulreian数的对数凹性.特别地,E.Steingrimsson教授证明了广义下降多项式Dnd(t)的系数D(d,n,k)关于κ具有单峰性.利用样条方法,我们得到了更强结果——证明了D(d,n,k)关于κ具有对数凹性.将样条函数与混合体积联系起来,给出了一类混合体积的样条解释.利用这种解释可以得到一类具有对数凹性的组合序列,从而部分的回答了Schmidt和Simion([13])提出的关于混合体积的公开问题.利用该结果,给出了细化Eulerian数和下降多项式的显式和递归表示.(4)讨论了渐近于Hermite多项式和Laguerre多项式的函数列性质.研究了渐近于Gauss函数的函数类φ,从而给出渐近于Hermite正交多项式的一类Appell多项式序列的构造方法,使得该序列与φ的n阶导数之间构成了一组双正交系统.利用这一结果,可以得到多种正交多项式和组合多项式的渐近性质以及一些新的组合恒等式.特别地,由N阶B样条所生成的Appell多项式序列恰为N阶Bernoulli多项式.从而Bernoulli多项式与B样条的导函数之间构成了一组双正交系统,且标准化之后的Bernoulli多项式随着N→∞,渐近到Hermite多项式.由二项分布所生成Appell序列为Euler多项式，从而Euler多项式与二项分布的导函数之间构成了一组双正交系统,且标准化之后的Euler多项式随着N→∞,渐近到Hermite多项式.给出了Appell序的生成函数满足尺度方程的充要条件.给出了渐近于Hermite多项式的函数列的判定定理.应用该定理,验证了广义Buchholz多项式,广义Ultraspherical(Gegenbauer)多项式和广义Laguerre多项式渐近于Hermite多项式的性质.给出渐近于Laguerre多项式的函数列的构造方法和判定定理.利用Laguerre多项式给出Meixner-Pllaczek多项式和Meixner多项式的渐近形式.超几何正交多项式的Askey格式揭示了正交多项式之间的渐近关系.应用上述方法验证了部分Askey格式成立.