分数阶微分方程由于其在实际应用中出色的建模能力而引起了广泛的关注和深入的讨论.尤其是在近半个世纪的时间里很多与其相关的理论研究都取得了长足进展.而在考虑分数阶偏微分方程的泛函解析方法时,一个最基本的问题就是相应的抽象柯西问题在Banach空间中是否满足适定性与最大正则性.本博士论文利用从属原则与β-次预解算子族理论、广义逼近原则与Trotter-Kato定理等方法,对一般Banach空间中分数阶柯西问题的适定性和最大正则性问题进行研究.论文主要围绕两个问题展开讨论:一是在连续情形下,分数阶柯西问题在加权H?lder空间中的最大正则性;二是在离散情形下,分数阶发展方程在Lτnp（Ωn）空间中的离散几乎最大正则性.前者在第一部分讨论,后一项工作的探索分布在其余三个部分中.在第一部分里我们研究了分数阶柯西问题在加权H?lder空间C0γ（E）中的适定性和最大正则性问题,其中E为一个一般的Banach空间.我们证明了若A为某一解析预解算子族的生成元,则非齐次分数阶柯西问题具有加权H?lder-最大正则性.在第二部分里我们利用广义逼近原则以及有限差分方法对分数阶发展方程进行离散化,得到了一个隐式差分格式和一个显式差分格式.对于隐式差分格式,我们呈现了它的显式解表达式,并给出了其在最大模范数下的稳定性.对于显式差分格式,我们同样得到了它的显式解表达式,并在一些额外的假设条件下证明了其满足最大模范数下的稳定性.在第三部分里对于隐式差分格式,我们首先建立了Trotter-Kato定理中稳定性条件的一个等价条件.然后基于隐式差分格式的显式解表达式,我们在Lτnp（Ωn）空间中建立了一个系数与步长有关的几乎强制不等式.对于显式差分格式,在一些额外的稳定性假设条件下我们同样通过一个系数与步长有关的几乎强制不等式证明了其在Lτnp（Ωn）空间中的离散几乎最大正则性.在第四部分里我们考虑了隐式差分格式和显式差分格式在最大模范数下的收敛速度问题.我们注意到,不论方程中的源项多么光滑,差分格式的解在初始时刻附近存在固有的弱正则性.于是我们通过预解算子族理论给出了半离散化差分格式解的一阶导数界,进而采用分层的思想讨论了分数阶导数的逼近方法的局部截断误差界.最后我们通过经典的数值分析方法分别得到了两种离散化差分格式的全局误差估计和解的收敛阶.