非线性理论是描述复杂系统结构形态的一门新兴边缘科学。它包含了分形、混沌和孤子这三个非常重要的概念。本文侧重研究了分形学中具有重要意义的广义Malldelbrot集（简称广义M集）的分形结构，并取得了一些研究成果。 阐述了一些基本的分形算法和牛顿法。这些分形算法是构造广义M集的算法基础，而牛顿法则是对广义M集中特殊点进行数学分析与求值的重要手段。借助这些强有力的工具，能够更好地对广义M集的分形结构进行研究。 本文首先利用M集和广义M集的分形结构来对一维多次映射进行分析，主要是对一维多次映射的混沌区域的周期倍分岔现象进行了研究，给出了用图形的方法确定一维多次映射混沌区域内的miget或双曲线组分周期的方法，并对一维多次映射的周期倍分岔现象出现的规律性进行了阐述。 对双参数复映射z←（z^a+h₁（c））^β+h₂（c）的参数空间进行了分析，通过台劳公式给出了确定双参数复映射参数空间中类广义M集的位置、尺寸和方向。并与单参数复映射的参数空间进行了比较。 最后，本文给出了一种基于逃逸时间算法的广义M集的渲染方法。该方法根据距离的远近和逃逸时间的不同进行颜色的选取，这种方法能够有效地进行广义M集的内外结构的渲染，从而使广义M集具有三维的立体效果。通过对该方法所绘制的广义M集的局部图形进行放大，会发现一些类似于山体等高线的同心圆环，这些同心圆环的中心点具有着一定的周期性，并且只有那些周期是逃逸时间N的约数的中心点的周围才能够呈现出类似于山体等高线的同心圆环的形状，这些中心点被称为逃逸时间N的约数周期点。