有限交换群环的分解和零因子图

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群环是一个重要的环类,其与群论,环论,域论,代数拓扑等理论有着十分紧密的联系.近年来,群环已广泛应用在通信,密码等领域.设R是有单位元的结合环,G是群.Maschke定理说明了群环RG是半单环当且仅当R是半单环,G是有限群,G的阶在R中可逆.利用Wedderburn-Artin定理,可以得到半单群环的结构的完全刻画,即半单群环必同构于有限个除环上的全矩阵环的直积.对一般群环的结构的研究是比较困难的.本文研究了当R为有限交换环,G为有限交换群时群环RG的分解及其结构,特别地,对R是有限交换局部环,G是素数幂阶循环群时群环RG的结构给出了具体的描述.近年来,环的零因子图的性质研究成为代数学研究的热点之一.零因子图的研究对于代数系统的结构刻画有着重要的意义,它的重要性在于可以使抽象的代数系统的结构更加清晰,直观.当Zn为模n剩余类环,G为有限交换群时,对群环ZnG的零因子图的性质已经有了较为具体的刻画.本文在此基础上,对有限交换群环RG的零因子图性质进行了研究,其中R为有限交换环,G为有限交换群.本文共分为七个部分,第一部分为引言,第二至第六部分中每一部分为一章,最后一部分是总结.第一章主要介绍本文的研究背景,理论来源以及零因子图的发展历史,还介绍了本文中所需的一些定义,定理等预备知识.第二章主要研究有限交换群环RG的分解及其结构,特别是对R是有限交换局部环,G是素数幂阶循环群时群环RG的结构给出了具体的描述(定理2.2.4).作为应用,对群环ZpG的结构进行了刻画(推论2.2.7),其中p为素数,G为素数幂阶循环群.第三章主要研究当R为有限交换环,G为有限交换群时群环RG的零因子图的围长,并对其给出了具体刻画(定理3.2.5).作为应用,可以直接获得群环ZnG的零因子图的围长的刻画(推论3.2.6).第四章主要研究当R为有限交换环,G为有限交换群时群环RG的零因子图的平面性,并对其给出了具体刻画(定理4.3.5).作为应用,可以直接获得群环ZnG的零因子图的平面性的刻画(推论4.3.6).第五章主要研究了当R为有限交换环,G为有限交换群时群环RG的零因子图的半径和直径,并对其分别给出了具体刻画(定理5.2.3,定理5.3.7).作为应用,可以直接获得群环ZnG的零因子图的半径和直径的刻画(推论5.2.4,推论5.3.8).本文第六章研究了群环ZnG的零因子图的中心和重心,对n为素数,G为素数幂阶循环群时群环ZnG的零因子图的中心和重心给出了具体的描述.第七章总结了本文的主要成果,并阐述了可进一步研究的问题.
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