现实世界中的信息由于受到噪声的干扰而无法准确测量,如何对连续的或离散的输入过程中的干扰噪声进行滤除以提取有用信息,或者如何在带有噪声的信号中获得关于有用信息的“最好”估计,此即为滤波。滤波理论作为估计理论中研究最为活跃的分支之一,被广泛应用于通信、定位导航、图像处理等诸多领域。根据系统是线性的或非线性的特征,可将其分为线性滤波和非线性滤波。对于一般的非线性滤波问题,如果给出了关于系统状态的后验条件概率所满足的演化方程的描述,则可以求得最优非线性滤波器,而这个可以通过对非归一化的状态条件密度ρ（t,x）所满足的Duncan-Mortensen-Zakai（DMZ）方程进行归一化处理得到。DMZ方程是一个随机偏微分方程,一般情况下难以求解。自上世纪70年代,有限维滤波成为非线性滤波领域的一个研究热点。因为有限维滤波只需要通过计算有限个充分统计量就可给出ρ（t,x）的解析计算式,具有显著优势。受到利用Wei-Norman方法求解时变线性微分算子方程的启发,Brockett,Clark,Mitter等人提出首先通过对滤波系统所对应的DMZ方程中的微分算子生成的有限维李代数进行分类,然后来构造滤波系统的有限维滤波器。Yau及其合作者在21世纪初完成了对最大秩下有限维估计代数的完全分类,但目前对非最大秩下的有限维估计代数的分类研究还很少。本文主要研究一类状态空间维数是4,线性秩为1的非最大秩下有限维估计代数的结构,同时在满足一些条件下构造出了一类新的多项式滤波系统,其相应的Wong-Ω矩阵元素可以是二次甚至是更高次的多项式,此外,利用Wei-Norman方法构造出这类新的系统的有限维滤波器。另一种研究思路是基于偏微分方程的求解来设计实时高效的非线性滤波器。DMZ方程是一个二阶随机偏微分方程,一般很难得到其闭形式解,因此可以通过数值求解DMZ方程的方法来设计次优非线性滤波器。本文基于线上和线下相结合的Yau-Yau滤波方法来设计非线性滤波器,其中线下部分是求解前向Kolmogorov方程,它是一个与观测无关的二阶线性偏微分方程。本论文主要通过引入扩展的Legendre多项式,利用Galerkin谱方法数值求解前向Kolmogorov方程,同时给出Legendre-Galerkin谱方法的收敛性分析证明。此外,本文提出的算法分别在时变和时不变的二维非线性滤波算例上进行数值测试,并且与现在常用的滤波算法如扩展卡尔曼滤波和粒子滤波,进行了滤波性能对比,数值模拟结果也进一步验证了我们提出的滤波算法的实时高效性以及准确性。