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界面问题在流体动力学和固体力学领域中有广泛的应用，界面问题常常对应着包含不连续系数和（或）不连续解的偏微分方程组。本文研究求解包含界面的椭圆型问题（我们将其简称为椭圆型界面问题）的间断伽辽金(discontinuousGalerkin，简称DG)方法。本文所考虑的第一项工作是在网格拟合界面时，将CDG(compact DG)方法进行推广，用于求解椭圆型界面问题，并将其与文献中的LDG(local DG)方法以及HDG(hybridizable DG)方法进行比较与分析。将CDG方法推广的主要做法是:在求解不含界面的问题时所选取数值通量的基础上，利用跳跃条件修正数值通量在界面处的表达式，并将修正后的数值通量代入到DG方法对应的弱形式中，离散化并求解。对弱形式离散后得到的刚度矩阵和求解不含界面的问题得到的结果完全一致，即跳跃条件所带来的影响被全部转移到右端向量中。三种DG方法求解椭圆型界面问题得到的刚度矩阵均是对称矩阵，对应的线性方程组易于高效求解。相比于LDG方法和HDG方法，CDG方法得到的刚度矩阵具有更高的稀疏性和紧致性。在实际问题中，界面的形状往往比较复杂，难以做到网格拟合界面，本文所考虑的第二项工作是针对一维和二维问题将三种P1-DG方法（CDG方法、LDG方法和HDG方法）推广到网格不拟合界面的情形。方法的实现包括两个主要步骤:第一，对跳跃条件中的函数作适当延拓，并利用界面的水平集函数表达式，构造满足跳跃条件的辅助函数，将原问题转化为仅包含齐次跳跃条件的问题;第二，在有界面穿过的单元上构造满足齐次跳跃条件的分片线性函数作为基函数，求解转化后的、仅包含齐次跳跃条件的椭圆型界面问题。数值结果表明，推广后的三种DG方法均具有二阶精度。