这篇博士论文研究了随机偏微分方程和金融衍生产品的定价问题。在随机偏微分方程部分,基于方程解的存在唯一性,我们主要考虑了解的长时间行为：解的指数稳定性以及二阶矩稳定性。在金融衍生产品定价部分,我们集中研究了几类期权的方差最优对冲策略和具有对手风险(信用风险)的期权定价问题。随机偏微分方程能够较为准确地刻画如物理学、生物学中一些重要现象的量化规律,目前已成为概率论中极为活跃的学术热点之一。例如,随机Burgers方程一直是流体力学中的一个很重要的方程,描述了物理问题中对流和耗散流之间的综合过程,而随机Kuramoto-Sivashinsky方程则描述的是物理学中电磁场的动态变化过程。在本文的第一章,我们考虑一类由补偿泊松随机测度驱动的Burgers方程和Kuramoto-Sivashinsky方程。在合适的假设条件下,我们证明了解的指数稳定性以及二阶矩稳定性。第二章我们研究了由非高斯Levy过程驱动的波动方程的解的长时间行为。在第三章,我们考虑了由一阶分式噪声驱动的热方程。我们首先证明了解的存在唯一性。之后,我们讨论了解的正则性问题以及利用该解来刻画远期利率。期权定价问题一直是学术界和业界的研究热点。Black和Scholes开创性地研究了欧式期权的定价问题,为期权定价提供了一种崭新的方法。其核心思想为构造一个由期权和原生资产组成的无风险交易组合,从而得到了期权价格表达式。随着实证分析的验证,数据显示期权原生资产的价格应该呈现随机波动率或者重尾的特征。因而大量的模型被应用到欧式期权定价过程中,包括随机波动率模型,跳扩散模型以及一般的Levy过程模型。在经典的Black和Scholes模型下,市场为完全市场,因此期权是可以完全对冲的,即可以构造出一个由期权和原生资产组成的无风险交易组合。但是在一般的Levy过程模型下,市场为不完全市场,也就是说完全对冲策略是不存在的。那么,从风险管理的角度看,在不完全市场,选择一个合适的对冲策略是极其重要的。在第四章和第五章,我们采用方差最优的方法来选择亚式期权和目标波动率期权的对冲策略。通过将该方差最优的问题转化为求解收益变量的Follmer-Schweizer分解,我们获得了离散时间下未定权益的Follmer-Schweizer分解的清晰表达式,进而得到了方差最优对冲策略的表达式。最后,我们运用逼近的方法求解了连续时间模型下目标波动率期权的Follmer-Schweizer分解,从而得到连续时间下清晰的对冲策略。在场外市场,金融机构和企业也有大量的金融期权等衍生产品的交易。不同于交易所交易的期权,场外市场的期权交易没有保证金制度,因此场外市场的期权持有人面临交易对手违约的可能。要对具有对手风险的期权进行定价,一个至关重要的问题是如何刻画交易对手的违约。在第六章,我们采用跳扩散过程来刻画原生资产和交易对手的资产过程并且采用经典的结构化方法刻画交易对手的信用违约。我们将跳部分表示为系统性风险和特定风险两部分,系统性风险同时影响原生资产和交易对手的资产过程。在该模型的假设下,我们求解了具有对手风险的期权价格。基于我们得到的价格表达式,我们研究了不同的跳部分对具有对手风险的期权价格的影响。