在低能级性质可以近似用Dirac电子来描述的系统中，Maj orana费米子以及分数费米子会以零模束缚态的形式出现在拓扑非平庸区域与平庸区域的边界。其根本原因是在边界附近与Dirac旋量耦合的标量场呈现出了扭结型的分布。该扭结型的标量场会打开系统的能隙，并且它在拓扑上不同于均匀分布的标量场。Majorana费米子和分数费米子正是在这种拓扑非平庸的标量场下出现的。我们在第一章介绍了几个相关的比较著名的模型，同时也为之后几章提供了部分理论支撑。　　在第二章，我们研究了一个一维Rashba系统，发现一般形式的周期性磁场可以在其边界诱导出Majorana费米子和分数费米子。在该系统中Majorana费米子依赖于邻近效应引入的超导配对势，而分数费米子的出现则不需要。与均匀磁场不同的是，周期性磁场可以在系统的能谱中诱导出很多的能隙。当化学势穿过其中任一能隙之中时，超导配对势的引入便可以使得Majorana费米子出现在系统边界。分数费米子则出现在两个能隙的交叠部分，并且要求磁场的周期必须是Rashba自旋轨道耦合长度的整数倍。两种零模束缚态的出现对磁场的具体形式则没有特定的要求。　　第三章中，我们研究了一个由Majorana费米子组成的一维单链格点系统，发现当系统的相互作用足够强时会有tricritical Ising(TCI)相变发生。该类型的相变处于Ising相变与一级相变的交点处，且会表现出超对称的性质。我们利用密度矩阵重整化群数值方法对该系统进行了详细的研究，并且得到了TCI相变点处系统的参数。我们发现该临界点处有很强的相互作用，一般的系统很难达到这种强度，但我们发现在Majorana格点系统中，原则上只需调节化学势便可以任意改变相互作用与跃迁项的比值，从而使其到达TCI相变点附近。　　第四章中我们同样考虑了Majorana格点系统，只是这次是一个梯子形状的模型，它可以在拓扑绝缘体表面实现。与上一章类似，我们通过详尽的解析与数值分析发现了TCI相变点，它的两侧分别是Ising相变与一级相变。该模型的优势在于它不要求系统具有很强的相互作用。最后我们讨论了实验上如何调节相关参量使得系统到达TCI相变点附近，以及超对称所表现出的特征。　　最后一章我们简单总结了本文的主要发现并且对未来可能的研究方向进行了简短的讨论。