生物数学是通过数学方法研究和解决生物学相关问题的交叉学科,借助数学模型可以深入了解复杂的生物系统的内在机理,还可以通过数值模拟发现生物系统的特性,从而为生物研究提供理论指导和实验预测。微分方程是数学联系实际,解决现实生活中复杂的动力系统的强有力的数学工具。本学位论文关注微分方程在生物数学中的应用,通过对生物系统进行相应的微分方程建模,对微分方程的定性分析全面和深入地展示生物系统的动力学性质。本文涉及生物数学领域中两类经典的研究方向:种群动力学和病毒动力学。分别用光滑和非光滑的微分系统来描述不同情境下的种群捕获系统和HIV复制系统,从而对上述生物过程进行定性分析和定量化研究。本文利用微分方程的定性分析理论来研究光滑的生物系统,为研究对象提供理论指导。同时,针对非光滑的生物系统,提出了利用微分互补模型来研究其动力学行为,拓展了微分互补问题的应用方向。具体研究内容如下:1.首先关注微分方程在种群动力学中的应用,针对生物资源的可持续发展问题,构造了一类具有光滑右端的微分方程来研究常数捕获项对一类捕食食饵系统动力学的影响。探讨保持生态系统平衡的情况下如何实现可持续性捕获,讨论了捕获系统的平衡点的存在性和稳定性,发现了系统的最大可持续捕获量。分析了捕获系统呈现的分支类型,并提出了理论上保持捕食食饵生态系统的平衡和实现可持续性捕获的限制条件。最后通过数值模拟验证了理论结果。2.关于微分方程在病毒动力学方面的应用,为了研究免疫系统中CTLs免疫和抗体免疫对HIV在人体内复制过程中的影响,构造了具有光滑右端的HIV动力学模型。理论分析了该模型的平衡点的存在性和稳定性,推导出系统参数对系统的分支类型的影响,并通过数值模拟验证了理论结果,说明了免疫系统在HIV病毒复制过程中的重要影响。3.注意到现实生产生活中更常采用的是阈值控制策略,比如种群的阈值捕获策略和病毒的阈值治疗策略。因此,建立了一类具有非光滑右端的微分系统来描述采用了阈值策略的生物模型。提出了利用互补系统来研究该阈值控制策略,将非光滑右端的微分系统转化为微分线性互补系统。首先推导了微分线性互补系统的解的存在性,并给出了该系统的数值离散方法。然后将该方法分别应用于具有单重和二重阈值捕获策略的单种群模型和两种群都具有阈值捕获策略的捕食食饵模型以及针对HIV治疗中的阈值治疗策略,研究了模型的平衡点的存在性。通过数值模拟来说明某些参数值下的生物系统状态变量的演化过程,进而展示了微分互补系统在研究该类非光滑生物模型的有效性和简便性。4.进一步考虑到随机因素在自然界中大量存在,因此将确定性微分互补系统拓展到随机情形,提出了一类微分线性随机互补系统的求解问题。首先理论上研究了微分线性随机互补系统的解的存在性。给出了相应系统的数值离散方法并证明了离散解的收敛性。最后,利用微分线性随机互补系统研究一类采用了阈值捕获策略的单种群模型的动力学,该模型中的阈值参数和捕获参数都受随机因素的影响,并通过数值模拟说明了随机因素对该模型的动力学的影响。