本文仅考虑有限无向简单图，所用图论符号及术语遵循文献[1]. 1990年，F.Harary[2]提出了和图，和数的概念，从而开始了对和图的研究. 1994年，F.Harary[3]又介绍了整和图，整和数的概念. 令V(G)表示图G的顶点集合，|S|表示集合S中元素的个数.令N(Z)表示正整数(整数)集，N(Z)的非空有限子集S的(整)和图G+(S)是图(S,E)，其中uv∈E当且仅当u+v∈S.一个图G称为(整)和图，若它同构于某个S()N(Z)的(整)和图.图G的(整)和数σ(G)((G))是使得G∪nK1是(整)和图的非负整数n的最小值.一个连通图的最小度δ是其和数的下界，能达到此下界的图称之为δ-最优的. 模和图的概念是由Boland等人[4]提出的. 模和图是取S()Zm{0}且所有算术运算均取模m(≥|S|+1)的和图.一个图G的模和数ρ(G)是使得G∪ρK1是模和图的孤立点数ρ的最小值. 2004年，李敏[5]提出下整和图的概念.用Q+表示正有理数集.Q+的非空有限子集S的下整和图G+(S)是图(S，E)，其中uv∈E当且仅当「u+v」∈S. 从实用的观点来看，各种和图标号都可用作表达图的数据结构，它们比用其他的方式输入图更能节省存储空间. 到目前为止，和图方面的研究已取得许多成果，给出了很多的一般性理论.现在研究的重点主要集中在两个方面：一方面是图的和数与它的图参数、图结构方面的联系；另一方面确定一些特殊图类的(模、整、下整)和数. 在本文的第一章中，我们主要介绍了文章中所涉及的一些概念、术语和符号以及前人关于和图的一些重要研究结果；在第二章中我们给出关于(下整)和图的一些结构性结果；第三章中，我们给出路、毛虫、皇冠、完全图不交并等一些特殊图类的下整和标号. 扇Fn是具有顶点集V={c，a1，a2，…，an}和边集E={ca1，ca2，…，can，a1a2，a2a3，…，an-1an}的图(V,E)，每条边cai，i=1，…，n称为一条辐.在Fn∪σ’(Fn)的一个下整和标号中，如果「c+ai」∈V(Fn)，则称cai为工作辐. 将一个圈Cm的n-个拷贝粘合于同一顶点所形成的图称之为风车.记作wnm(m≥3).中心粘合点记为c，第i个圈上其余各点分别记作ai，…，aim-1，且aim=c. 毛虫是这样的一棵树，去掉其叶子顶点(即1度顶点)后为一条路. 给定图G1，G2，设G1有n个顶点，则G1⊙G2表示这样的图：取G2的n个拷贝，且将G1的第i个点与G2的第i个拷贝的每个点连边所得的图.则Cn⊙K1(n≥3)称为皇冠. 树T被称作三路树(three-pathtree)，如果它由具有一个公共端点的三条路组成.当它对应的三条路分别是Pm，Pn，Pt时，这样的树记作P(m，n，t)，它相应的三条路分别记作：Pm=(a1，a2，…，am)，Pn=(am，b2，b3，…，bn)，Pt=(am，c2，c3，…，ct)其中am为它们的公共端点. 在本文中，我们主要得到如下定理.定理2.1.1设图G1，G2不同为和图，Li是Gi∪σ(Gi)K1的和标号，若存在n∈L2，使得n与maxL1互质，则σ(G1∪G2)≤σ(G1)+σ(G2)-1. 定理2.2.1风车wnm(m≠4，5)是δ-最优的. 定理2.3.1在Fn∪σ(Fn)K1(n≥5)的一个下整和标号中，至少存在一条辐是非工作的. 定理2.4.1设三路树P(m，n，t)(m，n，t＞2)存在一组下整和标号，则最大整数标号必为一度点. 定理3.1.1路是下整和图. 定理3.2.1毛虫是下整和图. 定理3.3.1皇冠的下整和数为1. 定理3.4.1完全图Kn的不交并的下整和数为1，即σ(rKn)=1(n≥3，r≥2) 推论3.4.1σ’(Kn1∪Kn2∪…∪Knr)=1，这里ni≥3,r≥2，i=1,…r.