【摘 要】
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本文主要研究无界域上Helmholtz方程的高精度有限差分法.采用完美匹配层（PML）将无界域截断为有界域,分别对一维问题和二维问题构造了差分格式.Helmholtz方程刻画了波在许多介质中的传播和散射现象,在声学、光学、电磁学以及地震学中有重要应用.全文共分为四章.第一章是绪论.简要介绍Helmholtz方程的研究背景,回顾了一些经典的数值方法以及界面问题的研究现状,尤其是差分法.进一步,介绍了
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本文主要研究无界域上Helmholtz方程的高精度有限差分法.采用完美匹配层（PML）将无界域截断为有界域,分别对一维问题和二维问题构造了差分格式.Helmholtz方程刻画了波在许多介质中的传播和散射现象,在声学、光学、电磁学以及地震学中有重要应用.全文共分为四章.第一章是绪论.简要介绍Helmholtz方程的研究背景,回顾了一些经典的数值方法以及界面问题的研究现状,尤其是差分法.进一步,介绍了吸收边界条件的发展状况.最后概括总结了本文的主要工作.第二章提出了一维带PML的Helmholtz方程的无污染有限差分法.首先,建立一维带PML的Helmholtz方程的含参数的有限差分格式,并给出该格式的截断误差.接下来,基于极小化数值频散的思想,提出一种新的参数选取策略,使得数值波数与真实波数相等,从而得到一种无污染的差分格式.最后,数值算例表明所提差分格式可以有效地提高数值精度,抑制数值频散,对处理大波数问题有重要意义.第三章提出了二维带PML的Helmholtz方程的两种四阶有限差分格式.首先,建立二维带PML的Helmholtz方程的含参数的四阶有限差分格式,该格式对常波数和变波数情况均适用.然后,通过经典的频散分析给出数值波数与真实波数之间的误差分析.接下来,基于极小化数值频散的思想,提出差分格式的参数选取策略.进一步,在所提格式的基础上,对于波数是分段常数的情况下,建立了四阶有限差分格式.该差分格式对于源项的光滑性要求较低.最后,数值算例表明所提差分格式的有效性.第四章为本文的总结,以及今后工作的研究展望.
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