机器人机构学是机器人研究的前提和基础,是机器人开发的先决条件之一,它包括机构分析和机构综合两个部分。随着机器人操作任务的多样化以及操作环境的复杂化,机构学研究所面临的数学问题演变成愈加复杂的高维度、强耦合、非线性的数学问题,传统数学方法在满足高效、高精度的机构学问题的求解过程中遇到了一定的困难。同时,随着科学技术的发展,尤其是计算机技术的发展,建立能够通过符号表达式描述的数字化机构学理论,发展基于计算机辅助的程序化设计,进而实现机构学研究的自动化、可视化、网络化和智能化是机构学研究的新趋势。几何代数作为一种完善且高效的数学计算工具,能从几何角度解决代数问题。它不仅能不依赖坐标系表示几何元素,还能对几何元素直接进行相交计算、度量计算以及坐标变换等,从而将求解问题几何化、可视化、简洁化、高效化。同时,几何代数从理论上讲还能将求解问题通过符号表达式描述,从而能借助计算机程序实现所研究问题的计算机辅助程序化计算。本文以简化机构学中数学问题的运算步骤、提高计算效率,给出具有符号表达式的结果为目标,基于不同几何代数空间,对机构学热点、难点问题进行了分析。主要研究内容和创新成果如下:(1)挖掘几何代数空间的内涵,以工程角度通过尽量少的数学背景知识解释几何代数,同时揭示其本质,找到几何代数与机构学符号分析的内在联系。指出不同维度的几何代数空间性质与功能的异同,从而能根据机器人机构学特定问题的特点,选取适合的几何代数空间。提出了一种新的几何代数空间——(4,4)几何代数空间,并对该空间几何元素表示方法,元素之间的相交计算和度量计算公式进行了证明。该几何代数空间不仅能表示点和向量、直线、平面,还能表示二次曲线和二次曲面;同时,不仅能表示均匀伸缩变换、平移变换和旋转变换,还能表示剪切变换、非均匀伸缩变换。(2)基于四维几何代数——(3,0,1)几何代数空间,提出六轴机器人位姿逆解唯一解选取的新算法。首先讨论了该几何代数空间的优势,即与对偶四元数计算效率相同,同时相比于对偶四元数,其对点、面具有统一的坐标变换算子,能直接计算点、面之间的有向距离。然后提出了六轴机器人位姿逆解唯一解选取的新算法,即在六轴机器人运动学逆解过程中,根据关节到3个奇异形位参考面有向距离不同的属性,基于(3,0,1)几何代数能确定唯一的运动学位姿逆解,省去了传统逆解中通过“最短行程”的准则来择优的步骤,提供了一种机器人运动学位姿逆解的新算法。该算法能确定唯一解、计算各关节到奇异面的距离、简洁直观地描述逆解问题,并在PUMA 560型机器人上进行了数值验证。(3)基于五维几何代数空间——(4,0,1)共形几何空间,建立了不含有导数项的串联机构和并联机构通用动力学方程。首先根据共形几何微分方程建立了基于拉格朗日第二类方程的串联机构的动力学模型和基于拉格朗日第一类方程的并联机构的动力学模型。然后编写满足共形几何运算规律的Mathmatica计算程序,并对所建立的动力学模型广义力进行计算。最后借助Adams和Mathmatica软件平台,将基于共形几何的动力学方程与传统齐次矩阵方法的动力学方程进行数值验证。该动力学模型没有导数项,能将已知量(如质量、转动惯量等)与未知量(如连杆速度、加速度等)分离,同时可以实现未知量的并行计算,从而减少动力学模型计算时间。(4)基于六维几何代数空间——(3,3)几何代数空间,提出一种符号表示的并联机构自由度的数字化算法。首先根据螺旋副之间的几何关系,利用(3,3)几何代数能符号表示螺旋刚体变换的优势,自动求解并联机构各支链螺旋系;然后利用(3,3)几何代数能符号表示集合交集和并集的优势,自动求解动平台运动空间,该运动空间为所求并联机构自由度的符号表示式;最后基于C++软件平台对这种并联机构自由度数字化求解算法进行验证。使用(3,3)几何代数不仅能通过刚体运算法则得到支链螺旋系的符号表达式,还能直接求解动平台运动空间,省去一般螺旋理论求互易螺旋需求解线性方程的过程,算法简洁,可得到并联机构自由度的符号表达式,从而实现数字化分析。全文采用理论推导和计算机辅助验证相结合的研究方法,对基于几何代数的机构学若干基础问题的符号化表示进行了系统、全面的研究和计算机辅助论证,为基于几何代数的机构学、机器人研究和开发提供了可以借鉴的理论,为基础问题几何化、直观化、符号化、数字化和计算机辅助化打下了夯实的基础。