论文主要研究基于矢量偏微分算子的电磁场的本征问题，并以不规则波导和谐振腔为应用背景。 从亥姆赫兹定理出发，将自由空间的亥姆赫兹定理推广到有限空间，得到了电磁场在矢量波空间的完全射影定理。 从推广的亥姆赫兹定理出发，将双旋度算子的本征方程化简为对两个标量函数的求解，并证明了矢量拉普拉斯算子和双旋度算子的本征函数系的正交性和完备性，为算子理论在电磁场本征问题中的应用提供了理论依据。 用算子理论改进了并矢格林函数的函数形式，通过本征变换和本征展开得到用并矢格林函数求解非齐次边值问题的一般表达式。 用并矢格林函数法计算了异形波导的高阶模特性，通过矢量恒等变换简化了并矢运算，引入格林函数的直接求解形式避免了奇点的处理，用奇异值分解技术求解特征矩阵方程，改善了计算结果的精确性和可靠性。这一方法可以精确而方便地求出几乎所有模式的截止频率。 用数值计算法实现了三维结构电磁谐振腔的纯旋量场的计算，得到谐振腔的若干模式的谐振频率，电场和磁场分布图。通过纯旋量场的计算，完全消除了“非物理模”。这一方法可以用于波导的不连续性研究和任何复杂形状的谐振腔的计算。