【摘 要】
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混沌动力学是复杂性科学的一个重要分支,也是近三十年来的一个热门学科,并在众多领域显示出强大的生命力.随机Melnikov方法作为研究随机系统混沌运动的最常用解析方法吸引了
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混沌动力学是复杂性科学的一个重要分支,也是近三十年来的一个热门学科,并在众多领域显示出强大的生命力.随机Melnikov方法作为研究随机系统混沌运动的最常用解析方法吸引了越来越多学者的关注.本文的主要目的是将传统的适用于光滑随机系统的随机Melnikov方法经过发展,使其适用于随机激励下的不连续系统中.首先利用随机Melnikov方法的基本思想,即通过测量扰动随机系统稳定和不稳定流形之间的距离,得到随机Melnikov过程函数,再通过建立统计意义下混沌发生的均方准则,建立随机系统发生混沌的阈值函数,最后从理论和数值上得到结果.在第二章中,首先假设存在一个单调函数,其将整个平面分成两个部分,且每一区域都由一个光滑系统来描述.这样的系统是一个分段连续的系统,且存在一个穿过切平面的同宿轨道.当受到有界噪声激励时,系统在某一时刻会出现分岔行为,此时通过测量稳定和不稳定流形之间的距离,得到相应的随机Melnikov函数.当随机Melnikov函数有简单零点时,随机系统将可能发生混沌现象.根据这个原理,得到随机系统在统计意义下的均方准则,进而从能量的角度给出了预测随机系统发生混沌的必要条件.在第三章中,研究了具有两个切平面的典型对称不连续随机系统的随机Melnikov混沌.基于Melnikov方法的基本思想,求出了随机的Melnikov函数,其可被分为确定项和随机项,根据第二章可得到响应函数的具体表达式,经过变换可得到相应的方差,因此得到均方准则公式.由该式可知混沌阈值是噪声强度和阻尼的函数,并且噪声强度和阻尼的变化对阈值有一定的影响.之后利用庞加莱映射和0-1测试验证前面相关结果,通过研究发现,在阻尼一定时,噪声强度在一定程度上不仅可以产生或加强混沌,还可以抑制混沌,这与理论上的结果是一致的.
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