张量是矩阵的一种推广,是研究物理及连续介质力学等多门学科的重要工具。近些年,在研究固体力学的强椭圆性条件问题和量子物理纠缠问题时引入了矩形张量。本文根据方张量的性质,定义了矩形张量的三个条件,将方张量的某些性质推广到了矩形张量。全文共分为四个部分。第一部分简要介绍了张量的研究背景和研究现状,并介绍了论文的主要内容。第二部分主要介绍了关于张量的基本概念及性质。第三部分定义了条件(P)及条件(P0),研究了当矩形张量满足这两个条件时所具有的性质。主要结论:定理3.2设Aq是(P,q)阶m × n维实偏对称矩形张量,p,为偶数。(a)A满足条件(P)当且仅当A是正定的。(b)A满足条件(P0)当且仅当A是半正定的。定理3.4若p,q至少有一个为奇数,则满足条件(P)的矩形张量是不存在的。定理3.5设A是(p,q)阶m × n维实矩形张量,则A满足条件(P)当且仅当对任意的非零向量x ∈ Rm,y ∈ Rn,存在两个正对角矩阵Sx =diag(s1,s2,…,sm),Ty =diag(t1,t2,…,tn)使得xTSx(A[xp-1yp)>0,yTTy(Axpyq-1)>0,成立。第四部分定义了条件(R),并将严格非负张量的某些性质推广到了矩形张量。主要结论:定理4.3A是(p,q)阶m×n维非负矩形张量,如果A(eA,·),A(.,ejq)至少有一个是不可约的,那么A满足条件(R)。