【摘 要】
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Schr（?）dinger方程作为量子力学中的一个基本方程,它主要揭示了微观物理世界物质运动的基本规律.时间分数阶Schr（?）dinger方程作为其推广方程,是通过考虑量子力学粒子的非高斯演化进而建立的描述量子物理中费马尔可夫演化的方程,被广泛应用.本文分为两大部分,第一部分主要研究了无界区域上时间分数阶线性Schr（?）dinger方程的人工边界方法及其数值解法.首先对该方程应用Laplace
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Schr（?）dinger方程作为量子力学中的一个基本方程,它主要揭示了微观物理世界物质运动的基本规律.时间分数阶Schr（?）dinger方程作为其推广方程,是通过考虑量子力学粒子的非高斯演化进而建立的描述量子物理中费马尔可夫演化的方程,被广泛应用.本文分为两大部分,第一部分主要研究了无界区域上时间分数阶线性Schr（?）dinger方程的人工边界方法及其数值解法.首先对该方程应用Laplace变换得到其精确人工边界条件,将无界区域上的问题转化为具有精确人工边界条件的初边值问题.这里需要注意的是,我们得到的精确人工边界是包含有广义Mittag-Leffler函数的广义Caputo型分数阶导数.在理论分析中,广义Mittag-Leffler函数和分数阶导数所带来的困难以及势函数V（x）≠=0造成的复杂性.其次严格证明了具有精确人工边界条件的时间分数阶线性Schr（?）dinger方程解的无条件稳定性.为了求解该方程的数值解,先构造了精确人工边界条件的L1差分格式并分析其截断误差,进而建立了时间分数阶线性Schr（?）dinger方程的差分格式并证明了解的稳定性和收敛性.最后利用数值例子加以验证理论分析的可行性.第二部分主要研究了无界区域上时间分数阶非线性Schr（?）dinger方程的人工边界方法及其数值解法.首先利用统一方法和线性化过程导出方程的吸收人工边界,其次证明了具有吸收人工边界条件的时间分数阶非线性Schr（?）dinger方程的解的适定性.最后构建了时间分数阶非线性Schr（?）dinger方程的有限差分格式,分别利用线性化方法和迭代法对差分格式进行求解,并且进行了误差分析,同时通过数值算例验证理论分析的可行性.需要强调的是,在本文研究的两类无界区域上的时间分数阶线性和非线性Schr（?）dinger方程中,势函数V（x）在人工边界外部均可取到不为0,这更贴合实际情况,适用范围也更为广泛.
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