本论文研究量子理论中的一些重要问题。它包含了量子几何相位、准精确可解问题和光学模拟验证等课题。首先，自从几何相发现以来，它对物理理论和应用均产生了重大影响。一方面，其理论层面的研究十分广泛，包含：绝热和循环过程、非绝热和非循环的推广、混态、非对角项、开放系统以及它与微分几何和规范场理论的广泛联系。另一方面，它的应用几乎触及了物理研究的方方面面，例如：分子物理学、凝聚态以及量子信息与计算。其次，量子精确和准精确可解问题无论从理论物理学家还是实验物理学家的角度看都有重要的意义，因为其理论计算的结论可以和实验的结果直接对照。最后，狭义相对论的理论结论超越我们日常的经验而且几乎不可能在平常的低速实验中得到观察，例如：运动的尺缩短和运动的钟变慢等现象。所以，借助于光学实验验证它的结论变得非常有意义。本论文包含四部分。第一部分（即第一章），我们回顾了关于几何相和准精确可解问题的必要概念和知识。并且为了深入理解其中的知识，我们计算了一个简单而且具体的例子。第二部分的内容包含第二至四章。其主要关注于二体、三体和非线性系统的几何相问题。第三部分（第五章）研究在线性势和磁场中的二维氢原子。它是一个典型的准精确可解问题。第四部分（第六章）关注用压缩光验证相对论性速度合成公式。在第一章1.1.1节中，我们首先回顾了量子绝热定理，并且从此定理出发，推导出了绝热和循环态的几何相位即Berry相，并且讨论了其规范不变性，还给出了平行移动条件，最后用一个小例子具体说明Berry相的求法。在1.1.2节中我们推广几何相到非绝热的情形即Aharonov和Anandan相，我们不仅讨论了阿贝尔的情形还讨论了非阿贝尔的情况，还给出了它们的几何解释，即与主从的和乐联系起来，最后用一个例子以说明其内涵。在1.1.3节中，我们继续推广了几何相的定义，由循环态几何相推广到了更一般的情况——非循环态几何相。我们首先给出了几何相的运动学描述方法，利用Pancharatnam联络定义了总体相位，然后减去动力学相位得到了几何相位。虽然以上的运动学描述方法有计算简便的优点，但是其几何相位却给人的感觉是依赖于动力学过程。为此，我们又给出了一种等价的形式，其优点是定义中不含有动力学相位。并且我们还给出了以上相位的几何解释。最后用一个例子说明了此几何相位的计算方法，并且我们这里得到的结果要明显比前人的简洁。以上各节是关于纯态几何相位的，而在1.1.4节我们又简介了混态几何相位。我们首先回顾了混态几何相的平行移动条件，进而得到了如果在平行移动条件下演化，其总体相位就是几何相位的结论。并且在特定条件下，混态几何相能够回到纯态几何相，说明两者定义的逻辑连贯性。然后又给出一个初始密度矩阵和演化算符，以一个小例子具体展示了混态几何相的运算。在1.2.1节中，我们首先区分了精确可解问题、不可解问题以及准精确可解问题，并且分析了一维准精确可解问题的代数结构——sl(2)代数。然后利用以上代数结构，我们运用线性代数的相关知识可以求出准精确可解问题的能级和波函数。除了理论简介外，在1.2.2节，我们给出了一个运用sl(2)代数结构求解谐振子能级和波函数的例子，以便读者更加深入掌握相关理论。在第二章，我们研究了几个有相互作用的自旋系统的几何相。尽管这个领域已经得到了广泛的研究，但是这些研究一般都局限于绝热情况（Berry相），因此我们有必要研究一下非绝热的情形（Aharonov和Anandan相）。在这本章中，我们研究了由三粒子构成的Lipkin-Meskov-Glick模型中的非简并和简并情形的几何相。这个模型在玻色爱因斯坦凝聚和量子纠缠理论的研究中应用广泛。在Aharonov和Anandan相的计算中，寻找循环初态最难以实现的，而且前人关于简并初态寻找的研究甚少。因此，为了计算简并态的几何相，本论文推广了Floquet定理和算符分解的方法来计算简并初态，进而求出了简并态的Aharonov和Anandan相。在第三章中，我们关注非线性系统的几何相。众所周知，相干态在量子光学中广泛应用，因此它的几何相研究受到广泛关注。但是，很少有人考虑非线性相干态的几何相位，而且非线性相干态在描述粒子阱的运动中也非常有用。在本章中，我们分别得到了两种非线性相干态和一种非线性压缩态的非幺正和非循环几何相。另外，我们还讨论了他们一些共有的性质，例如：规范不变性，非局域性和非线性影响。非线性函数能极大地影响几何相的演化。它们能加速或者延缓几何相的演化。所以非线性函数的这种特性能够应用到几何相的控制和测量中。对于压缩态，当压缩参数r→∞，几何相的极限值只取决于给定时间和圆频率的非线性函数。还有，本论文的结论在特定条件下能够回到通常的相干态和压缩态的几何相。当系统经历一个周期演化时，与它们相对应的循环态几何相也被讨论了。并且两种相干态几何相的差别可以看作一个区分它们的几何判据。以前，人们大量讨论了自旋或者纠缠自旋系统的几何相位。并且他们关注自旋系统中子系统的态往往是彼此正交的。而在第四章，我们将探讨子系统的态非正交情况的几何相。考虑这样一个系统由两个无相互作用的谐振子构成，其初态为纠缠相干态。我们计算了它的几何相并且分析了一些相关性质。在第一章中，作为说明非循环几何相的例子，我们计算了相干态几何相，并且相比于以前的论文得到了一个更简洁的表达式。进而利用上述结果，我们得到了纠缠相干态几何相的具体表达式。通过考虑不同参数的取值，我们得到了一些有益的结论。其中，我们着重分析了纠缠参数对于几何相的影响，如当纠缠消失时，纠缠态几何相约化为两个独立的相干态几何相之和；当纠缠最大时，不同于两个纠缠的量子自旋系统，纠缠相干态的几何相仍然存在。其次，我们找到了纠缠相干态的循环态存在的条件，并且计算了相应的循环态几何相位。而且还指出无论纠缠存在与否，系统的总体循环态几何相位总等于两个分别只有一个子系统受到谐振子势驱动的系统循环态几何相位之和。最后，文中还详述了谐振子势对几何相的影响。找到了只有一个粒子处于谐振子势时的系统几何相位，并且分析了对应的循环态几何相位。并且发现无论系统处于循环态与否或者纠缠与否，两个都处于谐振子势的系统的动力学相位都等于两个分别只有一个粒子处于谐振子势时的系统动力学相位之和。以上的各个章节主要关注于几何相。而第三部分关注于准精确可解问题，其内容分布在第五章。本章关注于这样一个准精确可解模型即在磁场中带有线性势的二维氢原子。首先文中对此二维问题经行分离变量得到了角向的解和径向的微分方程。对于径向方程，我们应用两种方法求解，它们分别是级数求解方法和sl(2)代数的方法，找到了此问题的可解部分的能级和波函数。两者得到了一致的结论，互相验证了彼此的正确性。其中，在应用sl(2)代数求解的过程中，我们找到了此径向方程的内部代数结构。然后应用群论的表示论和利用线性代数中一般的关于本征值和本征矢的求解方法求解。前人关于KS变换的研究一般应用于精确可解问题，而本文用KS变换研究了两个准精确可解问题之间的联系，即通过KS变换进一步研究了此模型的径向方程与带有离心势的非线性六次谐振子之间的对应关系。因此，关于这两个模型，我们只要知道一个模型的能级和波函数，应用KS变换就得到了另外一个模型的能级和波函数。第四部分（第六章）关注于基于压缩光验证相对论性速度合成公式的理论探索。作为现代物理学的基础，相对论的理论预言超越人们的日常经验并且很难在通常的运动学实验中实现。但是，它的结果能够被模拟，如利用压缩光，因此我们可以通过压缩光模拟和验证相对论中的一些结论。压缩光在量子光学中非常重要，而且可以被看作是SU(1,1)的相干态。本章回顾了SU(1,1)生成元及其对易关系和生成元的玻色表示，又回顾了一般的Lorentz变换和相对论性速度合成公式。然后，利用BCH定理和生成元对易关系，建立了在特定条件下压缩算符和Lorentz Boost之间的对应关系，进而为推导相对论性速度合成公式和Wigner角奠定了理论基础。最后从两个相继Lorentz Boost等于一个LorentzBoost和一个转动出发，再次利用BCH定理，推导出了相对论速度合成公式和Wigner角。并且对可能的实验方案做了理论上的讨论。