【摘 要】
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超图作为简单图的推广,可以描述现实世界中的多元关系,在复杂网络,生物网络,数据结构等诸多领域发挥重要作用.2005年,祁力群和林力行独立引入了张量或超矩阵的特征值.2012年,Cooper和Dutle应用邻接张量给出超图的张量表示.自此超图的谱成为成为当前代数图论和谱图理论研究的热点问题.2019年范益政等人从一般性的角度研究张量的谱对称性,即张量的谱在复平面的某种旋转下保持不变性.具体而言,如果
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超图作为简单图的推广,可以描述现实世界中的多元关系,在复杂网络,生物网络,数据结构等诸多领域发挥重要作用.2005年,祁力群和林力行独立引入了张量或超矩阵的特征值.2012年,Cooper和Dutle应用邻接张量给出超图的张量表示.自此超图的谱成为成为当前代数图论和谱图理论研究的热点问题.2019年范益政等人从一般性的角度研究张量的谱对称性,即张量的谱在复平面的某种旋转下保持不变性.具体而言,如果张量4的谱Spec(A)满足Spec(A)=ei2π/l Spec(A),则称4是谱l-对称的,且称满足上述等式的最大正整数l为A的循环指数,记为c(A).一致超图G是谱l-对称的(或具有循环指数c(G)),如果它的邻接张量A(G)是谱l-对称的(或具有循环指数c(G)).针对一些特殊情形,2012年Cooper和Dutle证明m-部超图是谱m-对称的,并提出研究m-一致超图的谱m-对称问题.2015年邵嘉裕等应用张量的广义迹给出谱m-对称的刻画.2014年Pearson和张恭庆提出研究m-一致超图的对称谱问题(即谱2-对称问题).2015年邵嘉裕等刻画了超图的对称H-谱,并提出对称H-谱是否等价于对称谱的问题.2015年范益政等人通过构造一类非奇二部广义幂超图,给出上述问题否定回答.2017年Nikiforov引入张量的奇染色,完全刻画了超图的对称谱问题.本文主要研究两类超图的循环指数,即广义幂超图和乘积超图的循环指数.范益政等提出如下猜想:猜想:设G是t-一致超图,Gm,s是G的广义幂且m=st.则c(Gm,s)=s·c(G).在本文第二章,我们应用Nikiforov超图作为反例否定了上述猜想.我们证明:Gm,s是谱(?)对称的.因此,在某些情形下,如(s,(c(G))=1或者(s,t)=1,猜想是成立的.我们应用Zm上的关联矩阵方程,给出猜想中等式成立的充要条件.在本文第三章,我们考虑超图的两类乘积:笛卡尔积G□H和直积G×H,建立乘积超图的循环指数和因子超图的循环指数的联系.我们给出G□H关联矩阵的显式表示.应用Zm上的关联矩阵方程,我们确定了 G□H的循环指数,即c(G□H)=(c(G),c(H)).我们证明G ×H是谱[(c(G),c(H)]-对称的,即[c(G),c(H)]| c(G ×H),其中(a,b),[a,b)分别记a,b的最大公约数和最小公倍数.
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