本博士论文首先简述了其所属学科的发展历程和研究现状,主要的代表人物以及我国数学家的工作;接着重点研究了几何分析中关于凸体的Schneider投影问题.然后研究了凸多胞形度量理论中类似于现代理论中Dehn-Sommerville关系的上界定理和下界定理.接着研究了凸体p-均质积分差的Minkowski不等式和Brunn-Minkowski不等式.最后研究了广义Hilbert双重级数不等式,并获得了几个定理.作者取得的主要创新成果是:(1)对Schneider投影问题取得了一些进展。为了研究著名的Schneider投影问题,2001年,E.Lutwak,D.Yang和张高勇在R~n中引进了关于多胞形一个新的仿射不变量,从而把对Schneider投影问题的研究转化为这个新的仿射不变量的研究.而对于一个原点对称的多胞形,他们提出了一个关于这个新的仿射不变量的猜想(公开问题).作者对此公开问题在原点对称的H_n多胞形情形给出了严格的数学证明,并给出了一个应用.(2)对凸多胞形的经典理论研究取得了一些进展.凸多胞形现代理论的主要成就是被称之为Dehn-Sommerville关系的上界定理和下界定理,它们属于凸多胞形的经典组合理论.作者建立了关于对称凸多胞形的两个极值定理,它们可视为凸多胞形度量理论中的上界定理和下界定理.另外给出了两个极值定理得一个应用.(3)对凸体和混合投影体在经典的Minkowski不等式和Brunn-Minkowski不等式进行研究,获得凸体的p-均质积分差的Minkowski不等式和Brunn-Minkowski不等式.它们是经典Minkowski不等式和Brunn-Minkowski不等式的推广与加强.进一步,建立了混合投影体的均质积分差的Minkowski不等式和Brunn-Minkowski不等式,推广和加强了熟知的混合投影体的相关结果.(4)为研究可拓约束的数学规划问题,作者建立了两个新型的广义Hilbert双重级数不等式,有利于解决工程实际问题(例如地震研究).