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经典的编码理论以有限域上的向量空间为背景.二十世纪九十年代,人们发现一些高效的二元非线性码可以看作是Z<,4>上线性码在Gray映射下的二元象,有限环上的编码理论获得重要突破.自此,有限环上的编码理论成为编码研究的热点.本文主要研究了整数模2的剩余类环即Z<,2>上长为2<"k>n(k≥1,n是奇数)的负循环码及其对偶码,探讨了自对偶负循环码的性质:还研究了GR(2,m)上长为2的负循环码的Hamming距离和齐次距离.具体内容如下:
1.运用离散的Fourier变换,给出了环Z<,2>上长为2n的负循环码的生成多项式和个数的计算公式.
2.利用Mattson-Solomon多项式,给出了环Z<,2>上长为2n的负循环码的对偶码的生成多项式.
3.得到了环Z<,2>上长为2n的自对偶负循环码的一些性质,并给出了环Z<,2>上长为2n的非平凡自对偶负循环码存在性及其一个充要条件.列举了Z<,4>上码长小于等于60的Gray象是二元线性自对偶循环码的非平凡自对偶负循环码.
4.给出了GR(2,m)上长为2为的所有负循环码的Hamming距离和齐次距离,特别地,得到了Z<,4>上长为2为的负循环码的Lee距离,利用Gray映射得到这些负循环码的二元象.