1980年,Klaus von Klitzing等人在半导体异质结的二维电子气中发现了量子霍尔效应(The quantum Hall effect)这种新的态不能被朗道的对称性破缺理论来描述。之后,科学家被这种新颖的现象所吸引,1982年,Thouless和合作者提出了一个新的理论,这种理论用一个拓扑数来描述这种量子霍尔相,被称为TKNN不变量,也叫做第一陈数,首次在凝聚态物理中引入了拓扑的概念。与此同时,许多实验学家也希望在材料中寻找出来其他拓扑相。首先是拓扑绝缘体,也被叫做量子自旋霍尔相,这种体系具有无能隙的边界态和有能隙的体态,这种奇特的能带性质导致其能在表面态导电而体系内部绝缘,其表面的二维电子是研究量子霍尔效应的好的平台。之后是拓扑超导体,绝缘体可以具有拓扑性质,那超导体也应该可以,从这个简单的想法出发,科学家的确发现了这样一种拓扑超导体,里面具有一些新奇的粒子,如Majorana费米子。之后由于拓扑Weyl半金属和Dirac半金属的理论发现,科学家将焦点转移到拓扑半金属上来,在过去的几年里,Weyl和Dirac半金属的实验实现使这一领域成为凝聚态物理学的热点,拓扑半金属有无能隙的体态和对应的边界态,具有一些非平庸的拓扑性质,如非平庸的贝利相,绕数等。对于整数量子霍尔效应,通常来说,只能在二维系统中观察得到,因为二维体系下能带才能形成离散的朗道能级而使得电导只由边界态提供,体态不参与输运,从而使得表面产生无耗散电子传输。但最近科学家提出量子霍尔效应可以通过Weyl轨道存在于半金属中,并且有一些实验证实Dirac半金属CdAs可以具有量子霍尔效应。到目前为止,Dirac和Weyl半金属中的量子霍尔效应已经被理论计算得到,在本论文中,我们研究了一类新的拓扑半金属,拓扑节线型半金属(Topological nodal-line semimetal)。相对于Dirac半金属和Weyl半金属的点状费米面,这种新的半金属的费米面在第一布里渊区是一条线,叫做nodal ring,这就导致其在边界态具有更高的态密度,输运性质更好,因此更可能适应于实际应用。拓扑节线型半金属由于具有更高的拓扑结构,因此需要额外的对称性来保护,其对称性被破坏之后,就会转变为Dirac半金属,Weyl半金属或者拓扑绝缘体。本论文中,第一章,我们首先简要地介绍量子霍尔效应,拓扑绝缘体以及拓扑半金属的相关基础。我们还额外列出了三维量子霍尔效应,因为这与一般的二维量子霍尔效应有较大的区别,之前有理论表明三维不存在量子霍尔效应,但是新观察到的实验现象似乎在打破这一理论。之后,我们通过阅读最近发表的关于拓扑节线型半金属的文章,总结了提出或着被确定为节线型半金属的材料,由于节线型半金属可能由不同的对称性保护,我们并通过对称性对不同的节线型半金属大致分为了四类。之后,通过文献引述,简要地解释了我们的课题来源,主要为解决节线型半金属量子霍尔效应数值计算。回顾了国内外关于拓扑节线型半金属,三维量子霍尔效应等的研究现状,最后列出我们主要的研究内容,主要包括拓扑节线型半金属体态拓扑性质与表面态的计算,霍尔电导的数值计算以及霍尔电导相关参数分析。第二章,我们推导了节线型半金属的一些拓扑性质,首先,构造了一个节线型半金属的所有拓扑性质的两袋模型哈密顿量,这个两带模型能够体现拓扑节线型半金属的能带性质,导带和价带相交于一条线。由这个哈密顿量出发,计算了节线型半金属的一些拓扑不变量。我们计算了节线型半金属的绕数(Winding number),这是一个一维的由k_x,k_y决定的拓扑数,计算分为三种情况,连续模型,也就是我们构造的初始模型,由于通常的体系因为有杂质具有能隙,我们计算了系统有能隙时的绕数,最后对于一个晶格模型,我们也计算了他的绕数,总结全部我们发现,当(k_x,k_y)点处于拓扑节线型半金属导带和价带相交的区域之内时,也就是处于nodal ring内部时,可以计算得到非零的绕数值。然后我们在简要介绍了一下贝利相(Berry phase)之后,计算了拓扑节线型半金属的贝利相。计算得到,在取不同的积分环路时,当积分环路绕过切只绕过nodal ring一次时,贝利相有不同的±π值,其正负取决于所绕的动量值的正负,当积分环路不绕过nodal ring时,贝利相的值为0。绕数和贝利相都是系统体态的性质,我们证明了拓扑半金属中的贝利相与绕数的等价性,由于计算绕数时需要保证正无穷大和负无穷大是同一个点,因此计算绕数所历经的积分路径和计算贝利相的积分环路是等价的。计算完成系统体态的拓扑性质之后,我们分三种情况计算了拓扑节线型半金属的边界态,区分条件是哈密顿量有没有平庸项和体系有没有磁场,当体系没有平庸项,没有磁场时,计算得到了零能的表面态,当体系具有平庸项时,可以计算得到鼓装的表面态,其表面态都以nodal ring为边界,分布在nodal ring的内部。对比拓扑节线型半金属体态的拓扑数与表面态的结果,可以发现这些性质之间有着很深刻的联系,所有的性质都与nodal ring的位置有很大的关系,贝利相和绕数的存在保证了边界态的存在。在拓扑半金属中,边界的性质可以被体态的性质决定,叫做体态-边界态对应(bulk-boundary correspondence),其具有深远的物理意义。计算了这个模型的拓扑性质之后,我们可以确定,这一模型具有我们所需要的用于计算量子霍尔效应的所有性质,因此我们开始计算此体系的量子霍尔效应。在第三章我们利用久保公式计算了拓扑节线型半金属的霍尔电导,首先我们简要地介绍了一下久保公式,而且计算了在二维的情况下,久保公式可以用贝利相来表示,也就是说,二维情况下如果体系具有非零的贝利相就说明可以具有量子霍尔效应,通过一个二维周期性边界模型作了简要说明。之后,我们数值计算了一个块状样品的量子霍尔效应,通过Fortran程序编程以及MPI并行程序,利用久保公式,首先在垂直于nodal ring的磁场下取一组基底,写出模型的哈密顿量矩阵,用基底将矩阵延展后,再计算得到相应的本征态和本征能量,之后计算速度算符的矩阵,将计算得到的本征值,本征能量,速度带入久保公式后即可计算得到霍尔电导。根据之前的文章选择合适的参数,计算得到的霍尔电导处于e~2/h的整数倍的数值上,因此得到结论,类似于Dirac半金属和Weyl半金属,拓扑节线型半金属也可以存在量子霍尔效应,这是本论文最主要的结果。第四章,由于这种存在三维拓扑半金属体系中的量子霍尔效应与通常只存在于二维的量子霍尔效应有很大的不同,其产生机理目前尚无定论,有一种理论解释是对于Weyl半金属,Weyl orbits可连接上下两个面的Fermi arc,形成这种三维的量子霍尔效应。对于拓扑节线型半金,此我们也想要简要的分析一下拓扑半金属中三维量子霍尔效应形成的原因,对此,我们研究了样品厚度和费米能量对量子霍尔效应的影响,并利用Onsager关系解释了得到的结果。对于样品厚度,我们发现,当改变样品厚度,但厚度不产生量子限制效应时,样品的厚度不会影响量子化的霍尔电导的值。对于费米能量,由表面态决定的Onsager关系,我们可以得到费米能和霍尔平台宽度的关系,通过与数值计算得到的霍尔平台关系的比较,我们可以发现,其数值大小比较吻合,因此可以确定,当磁场垂直于nodal ring时,拓扑节线型半金属的量子霍尔效应是由表面态带来的。但这些证据还不足以完全说明,我们之后会对这一方面进行更加深入的研究。本论文的主要结论有,一,用一个拓扑节线型半金属的两带模型计算得到了拓扑节线型半金属的体态拓扑性质和边界态以及他们的关系,绕数,贝利相,鼓状表面态与nodal ring的位置相关联,表面态由体态所决定,存在体态-边界态对应的现象。二,数值计算得到了拓扑节线型半金属的霍尔电导,发现此体系会有量子霍尔效应。三,计算了参数样品厚度与费米能对量子化的霍尔电导平台的影响,并利用Onsager关系,解释了其原因,初步推测其量子霍尔效应来源于边界态。