人工神经网络，是从信息处理角度对生物神经网络进行抽象而建立的数学模型。随着人工神经网络的研究工作不断深入，其在模式分割、智能机器人、自动控制、预测估计、故障诊断、系统辨识等领域已成功地解决了许多现代计算机难以解决的实际问题，显示出了良好的智能特性，这些智能特性主要取决于神经网络的动力学行为。多稳定性是描述多个稳定平衡态或周期解共存的概念。这种动力学行为在神经网络的一些应用中是必不可少的，包括图像处理、模式识别和联想记忆存储。Hopfield型神经网络，已经成为吸引大量多稳定性研究兴趣的主要模型。在实际生活中，周期函数能很好地描述系统的发展过程，比如生态系统、机械震动、市场供需、交通系统、生物活动中的心跳和记忆等等，而这些实际问题都可以总结为讨论微分方程周期解的稳定性。基于此，本文研究了Hopfield神经网络多稳定性和产生全局稳定周期解的控制策略问题。
　　在神经网络的理论研究中，神经网络的动力学行为与时滞、不确定性、随机噪声和扩散现象关系密切。近二十年来，众多学者考虑在这些因素下，如何保证Hopfield神经网络的全局稳定性或者局部稳定性，相关的研究成果层出不穷。然而，针对带有反应扩散项、脉冲效应和混合时滞的神经网络，如何利用矩阵凸组合和线性矩阵不等式技巧获得保守性更低的全局稳定周期解的存在唯一性条件，仍需深入研究。当分段线性、非饱和、非连续非单调激活函数出现在离散时间、连续时间、分数阶、Takagi-Sugeno模糊神经网络中，如何分析其单稳定性和多稳定性是一个难题。对于不稳定的时滞神经网络，如何设计脉冲控制器使得神经网络产生全局稳定周期解。针对这些问题，本文以离散时间、连续时间、分数阶、Takagi-Sugeno模糊、随时间切换、惯性反应扩散神经网路为研究对象。从分段线性，非饱和分段线性和非连续非单调激活函数的几何属性角度出发，充分运用严格对角占优矩阵、收缩映射、不动点定理、Ascoli-Arzela定理和凸组合方法，构造适当的Lyapunov-Krasovskii泛函，本文完成的主要工作包括：
　　①对离散神经网络和四元数神经网络进行了多稳定性分析。一类分段线性激活函数，使神经网络的存储容量大大提高。根据分段线性激活函数的几何性质，将n维欧式空间划分为许多超矩形区域。利用Schauder不动点定理和严格对角占优矩阵，给出了神经网络在各超矩形区域内平衡点存在唯一性的几个充分条件，证明了保证神经网络平衡点的局部渐近稳定性和其它平衡点的不稳定性的充分条件，估计了局部稳定平衡点的吸引域。估计得到的离散神经网络局部稳定平衡点的吸引域是超球形区域，可以比原矩形区域大。在没有其他条件的情况下，估计得出的四元数神经网络局部稳定平衡点的吸引域是超矩形区域，而且肯定比原来的矩形区域要大。
　　②不饱和分段线性激活函数具有计算简单快速和避免梯度消失等优点，这种激活函数是许多成功的前馈神经网络的重要组成部分。针对具有不饱和分段线性激活函数的分数阶神经网络，研究了其概周期解的单稳定性和多稳定性，给出了一些全局Mittag-Leffler吸引集，并通过Ascoli-Arzela定理证明了全局Mittag-Leffler稳定概周期解的存在唯一性。利用局部正不变集，给出了保证概周期解的局部Mittag-Leffler稳定性的充分条件，证明了在每个正不变集内都存在一个局部Mittag-Leffler稳定的概周期解，所有轨迹都收敛于该正不变集内的这个周期轨迹。
　　③讨论了具有非单调不连续激活函数和时变时滞的Takagi-Sugeno模糊神经网络概周期解的多稳定性问题。根据非单调不连续激活函数的几何性质，利用Ascoli-Arzela定理和不等式技术，证明了在一定条件下，该网络在某些超矩形区域具有局部指数稳定的概周期解，还估计了局部稳定概周期解的吸引域。理论成果包括有界性、全局吸引性、多稳定性、吸引域等，可推广到具有非单调不连续激活函数的Takagi-Sugeno模糊神经网络概周期解的单稳定性和多稳定性，弥补多稳定性在模糊神经网路领域的空白。
　　④针对具有离散和有限分布时变时滞的惯性反应扩散神经网络和随时间切换的神经网络，提出了一种新的周期脉冲控制策略。为了降低全局一致指数收敛准则的保守性，提出了利用可调参数和矩阵二次、三次凸组合方法，研究了两种网络的有界性和Lagrange稳定性。利用压缩映射定理和脉冲时滞相关的Lyapunov-Krasovskii泛函方法，给出了周期解存在性、唯一性和全局指数稳定性的充分条件。需要指出的是，所述的Lyapunov-Krasovskii泛函包括三重积分项和新的四重积分项，将减少神经网络稳定性条件的保守性。即使原始神经网络模型是不稳定的，甚至发散的，两类神经网络也可以通过脉冲控制生成全局指数稳定的周期解。