【摘 要】
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随机(偏)微分方程能够有效地刻画现实世界中的随机现象或不确定现象,且该随机激励有时甚至起着决定性作用,可导致系统发生根本性变化.目前若干非线性随机(偏)微分方程模型相
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随机(偏)微分方程能够有效地刻画现实世界中的随机现象或不确定现象,且该随机激励有时甚至起着决定性作用,可导致系统发生根本性变化.目前若干非线性随机(偏)微分方程模型相继被提出并应用于工程技术、生命科学、金融管理等诸多领域,深刻地解释了一些确定性系统难以描述的现实现象.这充分表明很有必要开展随机(偏)微分方程的深入研究,为实际应用提供严格的数学依据.众所周知,关于随机(偏)微分方程的定性性质的研究一直是微分方程及其动力系统理论体系和应用中一个既重要而又基本的方向.特别地,作为解空间的紧不变子集,随机(拉回)吸引子能够刻画所生成的随机动力系统的长期动力学行为,因此对随机吸引子的研究具有重要的科学意义和应用价值.本学位论文首先研究Brown运动驱动的随机恒化器模型,引入Monod--Haldane型非单调响应函数,获得了该模型的随机吸引子的存在性及显式表达式,且其内部结构是由随机单点子集构成.其次,引入Brown运动的Wong-Zakai平稳逼近,证明了此类方程的随机吸引子的存在性、内部结构与上半连续性.接着,侧重研究无穷维分数Brown运动驱动的随机发展方程,提出无穷维分数Brown运动的Wong-Zakai平稳逼近的合理定义,引入合适的停时序列,从而获得了该类逼近方程的随机吸引子的存在性.最后,证明了Wong-Zakai平稳逼近意义下的无穷维分数Gauss噪声、停时序列、温和解的收敛性及相应的随机吸引子的上半连续性.具体内容如下:第一章为绪论,简述本学位论文的研究背景、随机动力系统的预备知识及随机吸引子的基本理论、主要不等式及相关引理、H?lder连续函数定义的随机积分与相关性质.第二章考虑具有Monod--Haldane型非单调响应函数的随机恒化器模型,借助共轭变换证明该模型的全局解的存在性,进一步获得其随机吸引子的存在性与内部组成结构.第三章研究Brown运动的Wong-Zakai平稳逼近的随机恒化器模型,证明了此类逼近方程的随机吸引子的存在性、内部结构与上半连续性.第四章首先提出无穷维分数Brown运动的Wong-Zakai平稳逼近的合理定义,同时构造合适的停时序列,处理噪声无界性导致随机吸收集紧性难于获得的困难,并由此获得充分小的随机时间区间上的紧性,从而结合随机积分的可分性来获得了逼近方程的随机吸引子的存在性.第五章侧重分析Wong-Zakai平稳逼近意义下的无穷维分数Gauss噪声、停时序列、温和解的收敛性及相应的随机吸引子的上半连续性.
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