论文部分内容阅读
令S(H)是复Hilbert空间H上所有态（即，迹是1的正算子）构成的凸集，2≤dimH＜∞．本文证明了映射ψ∶S(H)→S(K)保纯态和严格凸组合（即，ψ把纯态映为纯态，且对任意的ρ1，ρ2和0＜t＜1，存在0＜s＜1使得ψ（tρ1+（1-t）ρ2)=sψ(ρ1)+（1-s）ψ(ρ2))当且仅当ψ有下列形式之一:(1)存在σ0∈Pur(K)使得对任意的ρ∈S(H)都有ψ(ρ)=σ0;(2)存在相异的Q1，Q2∈Pur(K)使得ψ（Pur（H））={Q1，Q2};(3)存在单射线性或共轭线性算子M∶H→K使得ψ(ρ)=MρM*/Tr(MρM*)对所有的ρ∈S(H)都成立.
对于两体系统，本文给出保持可分纯态和严格凸组合的映射的结构定理．尽管有更复杂的表达，类似的结构定理对多体系统也是成立.令ψ∶Ssep(H1（×）H2（×）…（×）Hn)→Ssep(K1（×）K2（×）…（×）Kn)是一个映射，2≤dimHi＜∞，i=1，2，…，n.利用结构定理可证:如果ψ保严格凸组合且保纯态可分性，那么
(1)如果ψ的值域不共线或者是单点集，则ψ将乘积态映为乘积态.
(2)如果ψ的值域不共线且包含一个态σ，满足对每个i=1，2,…，n，Tri（σ）都是秩≥2的，则存在(1，…，n)的一个置换π∶(1，…，n)(→)(π(1)，…，π（n））和单射线性或共轭线性（可能不同步）算子Mj∶Hπ（j）→Kj，j=1，…，n，使得ψ(ρ)=（M1（×）…（×）Mn）（Ο）π(ρ)（M*1（×）…（×）M*n）/Tr（（M1（×）…（×）Mn）（Ο）π(ρ)（M*1（×）…（×）M*n）)对所有的ρ∈Ssep(H1（×）…（×）Hn)都成立．这里（Ο）π∶Bsa(H1（×）H2（×）…（×）Hn)→Bsa(Hπ(1)（×）Hπ(2)（×）…（×）Hπ(n))是一个线性映射，满足（Ο）π（(A)1（×）(A)2（×）…（×）(A)n）=(A)π(1)（×）(A)π(2)（×）…（×）(A)π(n).显然dim Hπ(j)≤dim Kj.
本文还证明了，如果ψ∶Ssep(H1（×）H2（×）…（×）Hn)→Ssep(K1（×）K2（×）…（×）Kn)是一个双射，则ψ保严格凸组合当且仅当存在(1，2，…，n)的置换π和可逆线性或共轭线性（可能不同步）算子Mj∶Hπ(j）→Kj，j=1，…，n，使得ψ(ρ)=（M1（×）…（×）Mn）（Ο）π(ρ)（M*1（×）…（×）M*n）/Tr（（M1（×）…（×）Mn）（Ο）π(ρ)（M*1（×）…（×）M*n）)对所有的ρ∈Ssep（H1（×）…（×）Hn）都成立.这里（Ο）π∶Bsa（H1（×）H2（×）…（×）Hn）→Bsa(Hπ(1)（×）Hπ(2)（×）…（×）Hπ(n))是线性映射，定义为（Ο）π(A1（×）A2（×）…（×）An)=（A）π(1)（×）（A）π(2)（×）…（×）（A）π(n).显然dim Hπ（j）=dim Kj.
这些结果刻画了单射（局部）量子测量并回答了[8]中的两个猜测.