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设∑为E3的有界紧曲面，考虑关于平均曲率平方的Willmore泛函F(t)=∫H2dA1=∫H2θ1(t)∧θ2(t)，其中H为曲面簇X：∑×(-l,1)→R3的平均曲率，dA1=θ1(t)∧θ2(t)为曲面的体积元.运用曲面变分学的基本理论知识，我们可以计算出Willmore泛函F(t)=∫H2θ1(t)∧θ2(t)在t=0时的一阶变分公式如下，F+(0)=0的条件下，进一步可以推导F(t)在t=0时的二阶变分公式，F*(0)=∫{1/2(△α)2+α△α(H2-2K)+2α2(6H2-K)(H2-K)+2Hααijhij}θ1∧θ2，其中hij为曲面X(,0)的第二基本形式的分量.特别地，若取∑为R3中的环面，即∑为r(θ,ψ)=((α+rcosψ)cosθ，(α+rcosψ)sinθ,rsinψ)，其中0
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