非线性椭圆型微分方程和方程组广泛应用于物理学、几何学、生物学等学科,并且在工业生产和科学进程中发挥着重要的作用.本文研究的主要内容是非线性椭圆型微分方程中,带临界指数项的p-q型椭圆方程(组)的非平凡解问题.一方面,带临界指数项的p-q型椭圆边值问题具有较强的学术价值;另一方面,该问题为其在物理学与化学反应控制中的应用,打下坚实的理论基础.全文分为六个章节:第一章为绪论,介绍了p-q型椭圆方程(组)的研究背景和研究现状,提出了一些待解决的且具有一定研究价值的问题,并简单介绍了全文的主要内容.第二章对本文需要用到的基本符号作了说明,给出了相关定义及预备引理.第三章研究了一类含Hardy-Sobolev临界指数项的p-q型椭圆方程,利用变分方法、山路引理,证明了方程正解的存在性,再结合指标理论,得到了方程的无穷多解.第四章通过引入G-对称函数空间,研究了一类带Hardy项与Sobolev临界指数项的p-q型椭圆方程的G-对称解问题.对参数给出适当的限制条件,分别讨论了带扰动项与不带扰动项两种情形,证明了G-对称正解的存在性与多重性.本章将G-对称解问题推广到p-q型方程中,所得的结果是全新的,具有较强的理论意义.第五章研究了一类带临界齐次非线性项的p-q型椭圆系统的解的多重性问题,本章主要采用Nehari流形、Lusternik-Schnirelmann畴数理论和分析技巧,得到了方程的多个正解.本章尝试将临界齐次非线性的问题与p-q型椭圆系统紧密结合起来,推广了已有结论.第六章总结了全文,提出了当前研究内容的局限性并对今后的研究方向给出意见与建议.