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波前函数偏离理想情形时对光学系统存在复杂的影响，一种合适的分析方法是对波前函数模式展开后分别研究和测量，并作出添加、移除和改变等处理。Zernike圆多项式作为一种常用的单位圆上展开波前函数的模式，具有正交性、旋转不变性、低阶像差与Seidel像差相似对应等优势。但也存在一些不足:Zernike圆多项式偏导的不正交性会造成波前梯度测量中的模式耦合误差;Zernike圆多项式在环上的推广需要用到Gram-Schmidt正交化带来的复杂递归公式，也给环上梯度模式复原需要用到的偏导数据的计算带来困难。基于此点，我们提出Jacobi圆多项式作为另一种波前模式展开的选择来克服上述不足。论文的主要研究内容有: 首先，提出Jacobi圆多项式的构造，讨论Jacobi圆多项式展开和Zernike圆多项式的联系。指出Zernike模式总能用Jacobi模式的有限项线性展开，因此可以用Jacobi模式复原Zernike模式构成的波前函数。讨论了Jacobi圆多项式的空间分布、序关系、正交性和径向导数的正交性。 其次，提出单位圆上基于波前梯度测量的Gram矩阵模式复原方法，并分析了Gram矩阵方法中“混淆”误差与“耦合”误差与传统的最小二乘法的不同。对于Zernike波前的Jacobi模式复原，给出了每个方位频率上零阶修正的方法。由于Jacobi圆多项式的径向导数正交，在Gram矩阵方法中可避免Zernike模式存在的耦合误差，此方法适应横向剪切干涉仪这样梯度数据采样率较大的模式复原。由于Jacobi圆多项式同一方位频率中限制次数的模式数更多，在传统的最小二乘法模式复原中，其耦合误差略小于Zernike模式，此方法适应Shack-Hartmann传感这样梯度数据采样率较小的模式复原。 之后，给出Jacobi环多项式的构造，Jacobi环多项式可以由统一的显式表示给出，规避了Gram-Schmidt正交化带来的复杂递归公式，同时由于外环半径的设置不影响正交性，人们可以自由选取任一半径作为单位圆而不需要频繁地标度变换，可以更方便地适用于环形光学系统。并指出在环形孔径，Zernike圆多项式和Zernike环多项式均可用Jacobi模式的有限项线性展开，因此可以用Jacobi模式复原Zernike模式构成的波前函数。讨论了Jacobi环多项式的空间分布、序关系、正交性和径向导数的正交性。由于Jacobi环多项式的径向导数正交，在Gram矩阵方法中可避免Zernike模式存在的耦合误差。简要给出了Jacobi环多项式在圆扇形和环扇形面的推广，给出Jacobi扇环多项式的构造。 最后，简要介绍了ENZ像差衍射理论引导的Zernike模式复原方法，给出Jacobi模式的焦区三维衍射模式的解析解，介绍了Jacobi模式在ENZ像差衍射理论引导的模式复原法中的潜力。